Для решения уравнения (sin(3x-18°)+cos(π/6))(cos(3x-18°)+3π/8)=0, начнем с того, что произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Поэтому мы можем рассмотреть два отдельных уравнения:

1. sin(3x-18°) + cos(π/6) = 0
2. cos(3x-18°) + 3π/8 = 0

Теперь решим каждое из этих уравнений по отдельности.

Сначала вычислим cos(π/6). Это значение равно √3/2. Таким образом, уравнение принимает вид:

sin(3x-18°) + √3/2 = 0

Отсюда получаем:

sin(3x-18°) = -√3/2

Теперь найдем аргументы, для которых синус равен -√3/2. Это происходит в следующих quadrants:

• 3π/3 + 2kπ (где k - целое число)
• 4π/3 + 2kπ

Переведем эти значения в градусы:

• 210° + 360°k
• 330° + 360°k

Теперь вернемся к нашему уравнению и подставим 3x - 18°:

• 3x - 18° = 210° + 360°k
• 3x - 18° = 330° + 360°k

Решим для x:

• 3x = 210° + 18° + 360°k
• x = (228° + 120°k)

• 3x = 330° + 18° + 360°k
• x = (348° + 120°k)

Теперь найдем значения x в промежутке [-200°, 150°]. Подставляем k = -2, -1, 0:

• k = -2: 228° - 240° = -12°
• k = -1: 228° - 120° = 108°
• k = 0: 228° (не входит в промежуток)
• k = -2: 348° - 240° = 108° (не входит в промежуток)
• k = -1: 348° - 120° = 228° (не входит в промежуток)

Таким образом, из первого уравнения мы получаем корни: -12° и 108°.

Преобразуем это уравнение:

cos(3x-18°) = -3π/8

Однако, значение -3π/8 (примерно -1.178) не может быть значением косинуса, так как косинус может принимать значения только в диапазоне от -1 до 1. Таким образом, это уравнение не имеет решений.

Теперь найдем их сумму:

Сумма корней = -12° + 108° = 96°.

Ответ: сумма корней уравнения на промежутке [-200°; 150°] равна 96°.