Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,6. Если произвести 100 выстрелов, какова вероятность того, что количество попаданий: а) будет не менее 20; б) не превысит 75; в) будет находиться в диапазоне от 45 до 75?

Математика 11 класс Теория вероятностей вероятность попадания 100 выстрелов количество попаданий не менее 20 не превысит 75 диапазон от 45 до 75 математическая статистика биномиальное распределение задачи на вероятность Новый

Для решения этой задачи мы будем использовать распределение Бернулли, так как у нас есть фиксированное количество испытаний (выстрелов) и два возможных исхода (попадание или промах). В данном случае вероятность попадания в цель p = 0,6, а вероятность промаха q = 1 - p = 0,4.

Мы можем использовать нормальное приближение для биномиального распределения, так как количество выстрелов (n = 100) достаточно велико. Для этого нам нужно вычислить математическое ожидание (μ) и стандартное отклонение (σ) биномиального распределения:

• Математическое ожидание: μ = n * p = 100 * 0,6 = 60
• Стандартное отклонение: σ = √(n * p * q) = √(100 * 0,6 * 0,4) ≈ √(24) ≈ 4,9

Теперь мы можем использовать нормальное распределение с μ = 60 и σ ≈ 4,9 для приближенных расчетов.

1. Вероятность того, что количество попаданий будет не менее 20:

Это условие всегда выполняется, так как при 100 выстрелах минимальное количество попаданий (0) и максимальное (100). Поэтому:

Ответ: P(X ≥ 20) = 1 (или 100%).
2. Вероятность того, что количество попаданий не превысит 75:

Для этого мы находим Z-значение:

Z = (X - μ) / σ = (75 - 60) / 4,9 ≈ 3,06.

Теперь мы можем использовать таблицу стандартного нормального распределения, чтобы найти вероятность P(Z ≤ 3,06). Это значение очень близко к 1, так как Z = 3,06 - это довольно большое значение:

Ответ: P(X ≤ 75) ≈ 0,9999 (или 99,99%).
3. Вероятность того, что количество попаданий будет находиться в диапазоне от 45 до 75:

Сначала находим Z-значение для 45:

Z1 = (45 - 60) / 4,9 ≈ -3,06.

Теперь находим Z-значение для 75 (уже вычислено ранее):

Z2 = (75 - 60) / 4,9 ≈ 3,06.

Теперь найдем вероятности:

P(Z ≤ 3,06) ≈ 0,9999 и P(Z ≤ -3,06) ≈ 0,0001.

Таким образом, вероятность попаданий в диапазоне от 45 до 75:

P(45 ≤ X ≤ 75) = P(Z ≤ 3,06) - P(Z ≤ -3,06) ≈ 0,9999 - 0,0001 = 0,9998.

Ответ: P(45 ≤ X ≤ 75) ≈ 0,9998 (или 99,98%).