Для решения уравнения 4 sin 4x cos 2x + 5 cos 3x = 5 cos 5x начнем с упрощения левой части уравнения.

Используем формулу синуса двойного угла:

• sin 4x = 2 sin 2x cos 2x.

Тогда 4 sin 4x cos 2x можно переписать как:

• 4 sin 4x cos 2x = 4 (2 sin 2x cos 2x) cos 2x = 8 sin 2x cos^2 2x.

Таким образом, уравнение можно записать в следующем виде:

8 sin 2x cos^2 2x + 5 cos 3x = 5 cos 5x.

Теперь перенесем все элементы на одну сторону:

8 sin 2x cos^2 2x + 5 cos 3x - 5 cos 5x = 0.

Теперь попробуем использовать тригонометрические тождества для упрощения уравнения. Мы знаем, что:

• cos 5x = cos(3x + 2x) = cos 3x cos 2x - sin 3x sin 2x.

Подставим это в уравнение:

8 sin 2x cos^2 2x + 5 cos 3x - 5(cos 3x cos 2x - sin 3x sin 2x) = 0.

Упрощаем:

8 sin 2x cos^2 2x + 5 cos 3x - 5 cos 3x cos 2x + 5 sin 3x sin 2x = 0.

Теперь выделим общие множители:

5 cos 3x (1 - cos 2x) + 8 sin 2x cos^2 2x + 5 sin 3x sin 2x = 0.

Теперь, чтобы найти корни уравнения, рассмотрим различные случаи:

• Когда cos 3x = 0.
• Когда sin 2x = 0.
• Когда 1 - cos 2x = 0.

Решим каждый из этих случаев отдельно:

1. cos 3x = 0:
• 3x = (2k + 1)π/2, где k - целое число.
• x = (2k + 1)π/6.
2. sin 2x = 0:
• 2x = kπ, где k - целое число.
• x = kπ/2.
3. 1 - cos 2x = 0:
• cos 2x = 1, что дает 2x = 2kπ.
• x = kπ.

Теперь определим корни, которые принадлежат отрезку A = [2πm; (2m + 1)π], m = -3. Это означает, что мы ищем корни в диапазоне от -6π до -4π для m = -3.

Теперь подставим значения k:

• Для k = -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0:
• x = -3π, -2.5π, -2π, -1.5π, -1π, -0.5π, 0.

Теперь найдем сумму корней, принадлежащих отрезку A:

• -3π + (-2.5π) + (-2π) + (-1.5π) + (-1π) + (-0.5π) = -10.5π.

Итак, сумма корней уравнения, принадлежащих отрезку A, равна -10.5π. Поскольку нужно округлить до двух знаков после запятой:

Сумма корней = -32.99 (округлено до двух знаков после запятой).

Ответ: -32.99