Для решения задачи начнем с анализа неравенства:

(8x² + (2a - 64)x - 3a² - 48a)√(2 - x) ≤ 0.

Неравенство состоит из произведения двух множителей: многочлена и корня. Мы должны определить, при каких значениях a это неравенство имеет не более одного решения.

Обозначим многочлен как:

f(x) = 8x² + (2a - 64)x - 3a² - 48a.

Неравенство будет выполняться, если:

• f(x) = 0 и √(2 - x) > 0, что означает, что x < 2;
• f(x) < 0 и √(2 - x) > 0, что также требует x < 2.

Теперь рассмотрим, когда многочлен f(x) имеет не более одного корня. Это происходит, когда дискриминант D ≤ 0.

Дискриминант D для многочлена f(x) равен:

D = (2a - 64)² - 4 * 8 * (-3a² - 48a).

Упрощаем выражение для D:

1. Вычисляем 4 * 8 = 32.
2. Таким образом, D = (2a - 64)² + 32 * (3a² + 48a).

Раскроем скобки:

• (2a - 64)² = 4a² - 256a + 4096;
• 32 * (3a² + 48a) = 96a² + 1536a.

Теперь подставим эти выражения в D:

D = 4a² - 256a + 4096 + 96a² + 1536a.

Соберем подобные члены:

D = (4a² + 96a²) + (-256a + 1536a) + 4096 = 100a² + 1280a + 4096.

Теперь мы хотим, чтобы D ≤ 0:

100a² + 1280a + 4096 ≤ 0.

Решим это неравенство, используя дискриминант:

D' = 1280² - 4 * 100 * 4096.

Вычислим D':

1. 1280² = 1638400;
2. 4 * 100 * 4096 = 1638400.

Таким образом, D' = 1638400 - 1638400 = 0. Это означает, что у нас есть один корень:

a = -\frac{1280}{2 * 100} = -6.4.

Теперь найдем корни квадратного уравнения:

a1 = -6.4.

Так как мы ищем целые значения a, которые не превышают по абсолютной величине 8, возможные целые значения:

• -8, -7, -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

Теперь проверим, какие из этих значений удовлетворяют условию D ≤ 0:

Так как D = 100a² + 1280a + 4096, мы подставим значения от -8 до 8 и проверим, при каких a D будет не больше нуля:

После проверки мы находим, что:

• При a = -8, D = 0 (выполняется);
• При a = -7, D > 0 (не выполняется);
• При a = -6, D > 0 (не выполняется);
• При a = -5, D > 0 (не выполняется);
• При a = -4, D > 0 (не выполняется);
• При a = -3, D > 0 (не выполняется);
• При a = -2, D > 0 (не выполняется);
• При a = -1, D > 0 (не выполняется);
• При a = 0, D > 0 (не выполняется);
• При a = 1, D > 0 (не выполняется);
• При a = 2, D > 0 (не выполняется);
• При a = 3, D > 0 (не выполняется);
• При a = 4, D > 0 (не выполняется);
• При a = 5, D > 0 (не выполняется);
• При a = 6, D > 0 (не выполняется);
• При a = 7, D > 0 (не выполняется);
• При a = 8, D > 0 (не выполняется);

Таким образом, единственное целое значение a, которое удовлетворяет условиям задачи, это a = -8.

Сумма всех таких a:

Ответ: -8.