Вопрос: Как можно вычислить тангенс угла ADA1 в правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, где все ребра равны? Задача оценивается в 24 балла! Прошу решить как можно быстрее!

Математика 11 класс Геометрия тангенс угла правильная шестиугольная призма вычисление тангенса задача по математике геометрия ребра призмы угол ADA1 решение задачи 11 класс математика Новый

Чтобы вычислить тангенс угла ADA1 в правильной шестиугольной призме ABCDEFA1B1C1D1E1F1, давайте разберем шаги решения.

Шаг 1: Определение геометрии призмы

Правильная шестиугольная призма состоит из двух правильных шестиугольников (оснований) и шести прямоугольных боковых граней. Все ребра призмы равны, обозначим их длину как a.

Шаг 2: Координаты вершин

Расположим шестиугольник ABCDEF в плоскости XY. Вершины шестиугольника можно задать следующими координатами:

• A(0, 0, 0)
• B(a, 0, 0)
• C(a/2, sqrt(3)/2 * a, 0)
• D(-a/2, sqrt(3)/2 * a, 0)
• E(-a, 0, 0)
• F(-a/2, -sqrt(3)/2 * a, 0)

Верхние вершины A1, B1, C1, D1, E1, F1 будут находиться на высоте h (где h — высота призмы), т.е.:

• A1(0, 0, h)
• B1(a, 0, h)
• C1(a/2, sqrt(3)/2 * a, h)
• D1(-a/2, sqrt(3)/2 * a, h)
• E1(-a, 0, h)
• F1(-a/2, -sqrt(3)/2 * a, h)

Шаг 3: Векторы

Теперь найдем векторы AD и AA1:

• Вектор AD: D - A = (-a/2, sqrt(3)/2 * a, 0) - (0, 0, 0) = (-a/2, sqrt(3)/2 * a, 0)
• Вектор AA1: A1 - A = (0, 0, h) - (0, 0, 0) = (0, 0, h)

Шаг 4: Вычисление угла

Для нахождения тангенса угла ADA1, используем формулу:

tan(θ) = |AD| / |AA1|, где |AD| и |AA1| — длины векторов AD и AA1 соответственно.

Шаг 5: Длина векторов

• Длина AD: |AD| = sqrt((-a/2)² + (sqrt(3)/2 * a)² + 0²) = sqrt(a²/4 + 3a²/4) = sqrt(a²) = a.
• Длина AA1: |AA1| = sqrt(0² + 0² + h²) = h.

Шаг 6: Вычисление тангенса

Теперь подставим значения в формулу:

tan(θ) = |AD| / |AA1| = a / h.

Вывод:

Таким образом, тангенс угла ADA1 равен a / h, где a — длина ребра призмы, а h — высота призмы.