Все рёбра правильной четырехугольной призмы SABCD равны. Точка У - середина SC. Какова градусная мера угла между прямыми DE и SB?

Математика 11 класс Геометрия правильная четырехугольная призма углы в призме градусная мера угла математические задачи геометрия 11 класс Новый

Для решения этой задачи давайте сначала разберемся с геометрией правильной четырехугольной призмы и расположением точек.

Правильная четырехугольная призма состоит из двух квадратных оснований и четырех прямоугольных боковых граней. Обозначим вершины призмы следующим образом:

• S - верхняя вершина
• A, B, C, D - вершины нижнего основания, где ABCD - квадрат

Так как все рёбра призмы равны, пусть длина ребра равна a. Тогда:

• SA = SB = SC = SD = a (высота призмы)
• AB = BC = CD = DA = a (стороны основания)

Теперь определим координаты точек:

• S(0, 0, h)
• A(-a/2, -a/2, 0)
• B(a/2, -a/2, 0)
• C(a/2, a/2, 0)
• D(-a/2, a/2, 0)

Точка U - середина SC. Координаты точки U будут:

• U((0 + a/2)/2, (0 + a/2)/2, (h + 0)/2) = (a/4, a/4, h/2)

Теперь найдем векторы DE и SB:

• Вектор DE: D(-a/2, a/2, 0) и E(S(0, 0, h)). Вектор DE = E - D = (0 + a/2, 0 - a/2, h - 0) = (a/2, -a/2, h)
• Вектор SB: S(0, 0, h) и B(a/2, -a/2, 0). Вектор SB = B - S = (a/2 - 0, -a/2 - 0, 0 - h) = (a/2, -a/2, -h)

Теперь найдем угол между векторами DE и SB. Для этого используем формулу для косинуса угла между двумя векторами:

cos(θ) = (DE • SB) / (|DE| * |SB|),

где DE • SB - скалярное произведение векторов, а |DE| и |SB| - их длины.

Сначала найдем скалярное произведение:

• DE • SB = (a/2)(a/2) + (-a/2)(-a/2) + (h)(-h) = a^2/4 + a^2/4 - h^2 = a^2/2 - h^2

Теперь найдем длины векторов:

• |DE| = √((a/2)^2 + (-a/2)^2 + h^2) = √(a^2/4 + a^2/4 + h^2) = √(a^2/2 + h^2)
• |SB| = √((a/2)^2 + (-a/2)^2 + (-h)^2) = √(a^2/4 + a^2/4 + h^2) = √(a^2/2 + h^2)

Теперь подставим все в формулу для косинуса:

• cos(θ) = (a^2/2 - h^2) / (√(a^2/2 + h^2) * √(a^2/2 + h^2)) = (a^2/2 - h^2) / (a^2/2 + h^2)

Теперь, чтобы найти угол θ, мы можем воспользоваться арккосинусом:

• θ = arccos((a^2/2 - h^2) / (a^2/2 + h^2))

Однако, для нахождения угла между прямыми DE и SB, можно заметить, что они перпендикулярны, если h = a. В этом случае угол будет равен 90 градусов.

Таким образом, в общем случае угол между прямыми DE и SB:

90 градусов (если h = a).