y = x³ - 3x + 5. Какие интервалы возрастания и убывания имеет эта функция, и где находятся её экстремумы?

Математика 11 класс Анализ функций интервалы возрастания интервалы убывания экстремумы функции y = x³ - 3x + 5 анализ функции математика 11 класс Новый

Чтобы определить интервалы возрастания и убывания функции y = x³ - 3x + 5, а также найти её экстремумы, нам нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти производную функции.

   Производная функции y = x³ - 3x + 5 равна:

   y' = 3x² - 3.

2. Найти критические точки.

   Критические точки находятся, когда производная равна нулю или не существует. В нашем случае:

   3x² - 3 = 0.

   Решим это уравнение:

   • 3x² = 3
   • x² = 1
   • x = ±1.

   Таким образом, критические точки: x = 1 и x = -1.

3. Определить знаки производной на интервалах.

   Теперь мы должны проверить знак производной на интервалах, образованных критическими точками. Мы рассмотрим следующие интервалы:

   • (-∞, -1)
   • (-1, 1)
   • (1, +∞)

   Выберем тестовые точки:

   • Для интервала (-∞, -1) возьмем x = -2:

   y'(-2) = 3(-2)² - 3 = 12 - 3 = 9 (положительно).

   • Для интервала (-1, 1) возьмем x = 0:

   y'(0) = 3(0)² - 3 = -3 (отрицательно).

   • Для интервала (1, +∞) возьмем x = 2:

   y'(2) = 3(2)² - 3 = 12 - 3 = 9 (положительно).

4. Сделать выводы о возрастании и убывании.

   На основе знаков производной мы можем сделать следующие выводы:

   • На интервале (-∞, -1) функция возрастает.
   • На интервале (-1, 1) функция убывает.
   • На интервале (1, +∞) функция возрастает.
5. Определить экстремумы.

   Теперь мы можем определить экстремумы:

   • В точке x = -1 функция имеет максимум (поскольку производная меняет знак с положительного на отрицательный).
   • В точке x = 1 функция имеет минимум (поскольку производная меняет знак с отрицательного на положительный).

Итак, мы получили следующие результаты:

• Интервал возрастания: (-∞, -1) и (1, +∞).
• Интервал убывания: (-1, 1).
• Экстремумы: максимум в x = -1 и минимум в x = 1.