Как решить уравнение: |x-3| + |x+2| - |x-4| = 3?

Математика 5 класс Уравнения с модулями уравнение решение уравнения модуль математика 5 класс алгебра задачи на модули математические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение |x-3| + |x+2| - |x-4| = 3, нам нужно рассмотреть разные случаи для значений x, так как модуль меняет свое значение в зависимости от того, положительное или отрицательное выражение внутри него.

Сначала определим точки, в которых выражения под модулями равны нулю:

• |x-3| = 0, когда x = 3
• |x+2| = 0, когда x = -2
• |x-4| = 0, когда x = 4

Таким образом, у нас есть три критические точки: -2, 3 и 4. Эти точки делят числовую ось на четыре интервала:

• Интервал 1: x < -2
• Интервал 2: -2 ≤ x < 3
• Интервал 3: 3 ≤ x < 4
• Интервал 4: x ≥ 4

Теперь рассмотрим каждый интервал по отдельности:

1. Интервал 1: x < -2

В этом интервале все выражения под модулями отрицательные:

• |x-3| = -(x-3) = -x + 3
• |x+2| = -(x+2) = -x - 2
• |x-4| = -(x-4) = -x + 4

Подставляем в уравнение:

-x + 3 - x - 2 - (-x + 4) = 3

Упрощаем:

-x + 3 - x - 2 + x - 4 = 3

-x - 3 = 3

-x = 6

x = -6

Проверяем: -6 < -2, значит, это решение подходит.

2. Интервал 2: -2 ≤ x < 3

В этом интервале:

• |x-3| = -(x-3) = -x + 3
• |x+2| = x + 2
• |x-4| = -(x-4) = -x + 4

Подставляем в уравнение:

-x + 3 + (x + 2) - (-x + 4) = 3

Упрощаем:

-x + 3 + x + 2 + x - 4 = 3

x + 1 = 3

x = 2

Проверяем: 2 находится в интервале -2 ≤ x < 3, значит, это решение подходит.

3. Интервал 3: 3 ≤ x < 4

В этом интервале:

• |x-3| = x - 3
• |x+2| = x + 2
• |x-4| = -(x-4) = -x + 4

Подставляем в уравнение:

(x - 3) + (x + 2) - (-x + 4) = 3

Упрощаем:

x - 3 + x + 2 + x - 4 = 3

3x - 5 = 3

3x = 8

x = 8/3

Проверяем: 8/3 ≈ 2.67, не подходит в интервал 3 ≤ x < 4.

4. Интервал 4: x ≥ 4

В этом интервале:

• |x-3| = x - 3
• |x+2| = x + 2
• |x-4| = x - 4

Подставляем в уравнение:

(x - 3) + (x + 2) - (x - 4) = 3

Упрощаем:

x - 3 + x + 2 - x + 4 = 3

x + 3 = 3

x = 0

Проверяем: 0 не подходит в интервал x ≥ 4.

Итак, мы нашли два решения:

• x = -6
• x = 2

Ответ: x = -6 и x = 2.