Давайте обозначим количество плиток, которые остались после строительства дома, как x.

Исходя из условия задачи, у нас есть несколько подсказок:

• Если укладывать плитки по 10 штук в ряд, то их не хватает для квадратной площадки. Это значит, что x не является полным квадратом.
• При укладывании плиток по 6 штук в ряд, остается один неполный ряд, что означает, что x можно представить как 6k + 1, где k - это целое число.
• При укладывании плиток по 5 штук в ряд тоже остается неполный ряд, и в этом ряду на 4 плитки меньше, чем в неполном ряду при укладывании по 6 плиток. Это можно записать как x = 5m + r, где m - это целое число, а r - остаток от деления на 5.

Теперь давайте разберемся с условиями:

1. Согласно первому условию, x можно записать как 6k + 1.
2. Согласно второму условию, если r - остаток от деления x на 5, то r = 6k + 1 (mod 5). Это значит, что 6k + 1 должно давать остаток 1 при делении на 5.

Теперь давайте попробуем найти возможные значения x, которые удовлетворяют этим условиям. Мы можем начать с того, что x при делении на 6 дает остаток 1, а при делении на 5 - это будет r = 1 или r = 2 или r = 3 или r = 4.

Мы знаем, что остаток при делении на 6 равен 1, поэтому мы можем записать:

• x = 6k + 1

Теперь подставим это значение в условие для 5:

• 6k + 1 = 5m + r

Теперь давайте рассмотрим возможные значения k и подберем соответствующие значения m и r.

Начнем с малых значений k:

• Для k = 0: x = 1 (не подходит, так как не хватает для квадратной площадки).
• Для k = 1: x = 7 (не хватает для квадратной площадки).
• Для k = 2: x = 13 (не хватает для квадратной площадки).
• Для k = 3: x = 19 (не хватает для квадратной площадки).
• Для k = 4: x = 25 (не хватает для квадратной площадки).
• Для k = 5: x = 31 (не хватает для квадратной площадки).
• Для k = 6: x = 37 (не хватает для квадратной площадки).
• Для k = 7: x = 43 (не хватает для квадратной площадки).
• Для k = 8: x = 49 (это 7 * 7, подходит для квадратной площадки, но не хватает).

Таким образом, мы продолжаем подбирать значения, пока не найдем подходящее:

В итоге, мы обнаружим, что x = 29 соответствует всем условиям:

• 29 плиток, если укладывать по 10, не хватает.
• 29 плиток при укладывании по 6: 4 полных ряда и 5 плиток в неполном ряду.
• 29 плиток при укладывании по 5: 5 полных рядов и 4 плитки в неполном ряду.

Таким образом, количество плиток, которые остались после строительства дома, составляет 29 плиток.