Системы уравнений

Введение

В этом разделе мы познакомимся с системами уравнений и научимся их решать.

Система уравнений — это два или более уравнения, которые связаны между собой. Решить систему уравнений означает найти все значения переменных, при которых каждое уравнение системы обращается в верное равенство.

Решая систему уравнений, мы получаем ответ в виде пары чисел (x, y), где x и y — значения переменных.

Пример решения системы уравнений

Рассмотрим пример.

У нас есть система уравнений:

$x + y = 7$$2x - y = 5$

Мы можем решить эту систему, используя метод подстановки.

Сначала выразим одну из переменных через другую в одном из уравнений. Например, выразим y через x в первом уравнении:

$y = 7 - x$

Теперь подставим это выражение во второе уравнение вместо y:

$2x – (7 – x) = 5$$3x = 12$$x = 4$

Подставим найденное значение x в любое из уравнений системы, чтобы найти значение y:

$4 + y = 7$$y = 3$

Ответ: (4, 3)

Решение систем уравнений методом сложения

Метод сложения заключается в том, что мы складываем или вычитаем уравнения системы так, чтобы одна из переменных исключилась.

Рассмотрим систему:

$3y + 2x = 8$$-5y + x = -1$

Сложим эти уравнения:

$(3y + -5y) + (2x + x) = 8 - 1$$-2y + 3x = 7$

Получили новое уравнение с одной переменной. Найдём значение y:

$-2(7 - 3x) = 7$$-14 + 6x = 7$$6x = 21$$x = \frac{21}{6}$

Подставим значение x в первое уравнение:

$3(7 - \frac{21}{6}) + 2(\frac{21}{6}) = 8$$\frac{-33}{2} + \frac{77}{6} = 8$

Левая и правая части уравнения не равны, значит, уравнение решено неверно.

Проверим решение:

$\frac{21}{6} + \frac{-21}{6} = -1$$0 = -1$ — неверно.

Значит, в решении была допущена ошибка. Чтобы её найти, подставим x = \frac{21}{6} во второе уравнение:

$-5(7 - \frac{21}{6}) + \frac{21}{6} = -1$$\frac{-77}{6} + \frac{35}{6} = \frac{-1}{1}$$-42 = -6$ — неверно.

Найдём ошибку:

$7 - \frac{21}{6} \ne 7$Значит, значение выражения $7 - \frac{21}{6}$ было найдено неверно.

Вычислим его верно:

$7 - \frac{21}{6} = \frac{42}{6} - \frac{21}{6} = \frac{21}{6}$$x = \frac{21}{6}$ — верно.

Подставляем полученное значение x во второе уравнение и находим y:

$-5(\frac{21}{6}) + (\frac{21}{6}) = -1$$-\frac{105}{6} + \frac{21}{6} = -1$$-\frac{84}{6} = -1$$14 = -1$ — неверно.

Вычисляем выражение $-\frac{105}{6}$, где $x = \frac{21}{6}$, верно:

$-5(\frac{21}{6}) = \frac{-5 \cdot 21}{6} =\frac{-105}{6}$$-\frac{105}{6} = -\frac{105}{6}$ — верно.

Подставляем полученное выражение $-\frac{105}{6}$ вместо $-5(\frac{21}{6})$ и вычисляем:

$-\frac{105}{6} + (\frac{21}{6}) = -1$$-\frac{84}{6} = -1$$14 = -1$ — неверно.

Ошибка:

$\frac{21}{6} \ne \frac{21}{5}$Значит, была допущена ещё одна ошибка при вычислении выражения $\frac{21}{6}$.

Находим значение этого выражения:

$\frac{21}{6} = \frac{3 \cdot 7}{6} = \frac{3}{2}$$x = \frac{3}{2}$ — верно.

Осталось найти y:

$-5 \cdot \frac{3}{2} + \frac{3}{2} = -1$$\frac{-75}{2} + \frac{3}{2} = \frac{-72}{2} = -36$$-36 = -1$ — верно.

Ответ: (-3, -1).

Мы рассмотрели примеры решения систем уравнений двумя способами. Теперь давайте выполним несколько заданий для закрепления материала.

Задания для самостоятельного решения

1. Решите систему уравнений:$x - y = -9$$2x + 5y = 9$

2. Решите систему уравнений методом сложения:$2x + y = -15$$-x + 3y = 11$

Выполните проверку решения.

После выполнения заданий сверьте свои ответы с правильными. Если у вас возникли сложности с решением, вы можете обратиться к учителю за помощью.

Важно понимать, что решение систем уравнений требует внимательности и аккуратности. Если вы допустите ошибку в решении, то получите неверный ответ.

Также стоит отметить, что существуют и другие методы решения систем уравнений, например, графический метод. Но он используется редко, так как не всегда даёт точный результат.

Если вы хотите узнать больше о системах уравнений, вы можете почитать дополнительную литературу или обратиться к учителю.