Похожие вопросы
2025-07-29 13:47:26
У автомата с конфетами есть две кнопки: при нажатии на одну из них можно получить 12 конфет, а при нажатии на другую – 13 конфет. Антон нажимал на эти кнопки так, чтобы получить максимальное количество конфет, по которому можно точно определить, сколько раз он нажал на каждую кнопку. Сколько конфет у Антона?
Математика 5 класс Системы уравнений автомат с конфетами кнопки 12 конфет 13 конфет максимальное количество конфет задача по математике 5 класс решение задачи количество нажатий кнопок
2025-07-29 13:47:41
Чтобы решить эту задачу, давайте обозначим количество нажатий на первую кнопку (которая дает 12 конфет) буквой x, а количество нажатий на вторую кнопку (которая дает 13 конфет) буквой y.
Тогда общее количество конфет, которое Антон получил, можно записать следующим образом:
К = 12x + 13y
Наша задача состоит в том, чтобы найти такое значение К, которое можно было бы точно определить, сколько раз Антон нажал на каждую кнопку, то есть найти такие целые неотрицательные числа x и y, что сумма конфет К будет уникальной для данной пары (x, y).
Для этого нам нужно рассмотреть различные значения K и выяснить, когда они могут быть представлены в виде 12x + 13y единственным образом.
Важно отметить, что числа 12 и 13 являются взаимно простыми (их наибольший общий делитель равен 1), что означает, что с их помощью можно составить любое достаточно большое число. Однако, чтобы число K имело единственное представление, оно должно быть меньше определенного значения.
По теореме Бежа, максимальное число K, которое нельзя представить в виде 12x + 13y и при этом можно получить уникальные представления, будет равно:
- (12 - 1)(13 - 1) - 12 - 13 = 11 * 12 - 12 - 13 = 132 - 25 = 107
Таким образом, максимальное количество конфет, которое Антон мог бы получить и при этом иметь уникальное представление в виде 12x + 13y, равно 107 конфет.
Итак, ответ на вопрос: Антон получил 107 конфет.
