Вася и Петя вместе могут прополоть грядку за 10 минут, Петя и Таня вместе такую же грядку за 12 минут, а Вася и Таня вместе за 15 минут. Сколько времени им потребуется, чтобы втроем прополоть две такие грядки?

Математика 5 класс Системы уравнений Вася Петя Таня грядка время работа совместная работа задачи на скорость математика решение задачи Новый

Для решения этой задачи начнем с определения скорости работы каждого из участников: Васи, Пети и Тани. Мы знаем, сколько времени требуется каждой паре для выполнения одной и той же работы, а именно прополки грядки.

1. Определим скорость работы каждой пары:

• Вася и Петя вместе могут прополоть грядку за 10 минут. Значит, их совместная скорость составляет 1/10 грядки в минуту.
• Петя и Таня вместе могут прополоть грядку за 12 минут. Значит, их совместная скорость составляет 1/12 грядки в минуту.
• Вася и Таня вместе могут прополоть грядку за 15 минут. Значит, их совместная скорость составляет 1/15 грядки в минуту.

2. Обозначим скорость работы каждого из участников:

• Скорость Васи: V
• Скорость Пети: P
• Скорость Тани: T

3. Запишем уравнения для каждой пары:

• V + P = 1/10
• P + T = 1/12
• V + T = 1/15

4. Теперь мы можем решить эту систему уравнений. Для этого выразим одну переменную через другую. Начнем с первого уравнения:

• V = 1/10 - P

5. Подставим V в третье уравнение:

• (1/10 - P) + T = 1/15

6. Упростим это уравнение:

• T = 1/15 - 1/10 + P

7. Приведем дроби к общему знаменателю:

• 1/15 - 1/10 = 2/30 - 3/30 = -1/30

Таким образом:

• T = P - 1/30

8. Теперь подставим T в уравнение для второй пары:

• P + (P - 1/30) = 1/12

9. Упростим:

• 2P - 1/30 = 1/12

10. Приведем дроби к общему знаменателю:

• 2P = 1/12 + 1/30

11. Общий знаменатель для 12 и 30 равен 60:

• 1/12 = 5/60
• 1/30 = 2/60

Таким образом:

• 2P = 5/60 + 2/60 = 7/60

12. Разделим обе стороны на 2:

• P = 7/120

13. Теперь подставим P обратно, чтобы найти V и T:

• V = 1/10 - 7/120 = 12/120 - 7/120 = 5/120 = 1/24
• T = P - 1/30 = 7/120 - 4/120 = 3/120 = 1/40

14. Теперь мы знаем скорость каждого:

• V = 1/24 (грядки в минуту)
• P = 7/120 (грядки в минуту)
• T = 1/40 (грядки в минуту)

15. Теперь найдем их общую скорость:

• Общая скорость = V + P + T = 1/24 + 7/120 + 1/40

16. Приведем дроби к общему знаменателю:

• 1/24 = 5/120
• 1/40 = 3/120

Таким образом:

• Общая скорость = 5/120 + 7/120 + 3/120 = 15/120 = 1/8

17. Это означает, что втроем они могут прополоть одну грядку за 8 минут.

18. Чтобы прополоть две грядки, им потребуется:

• 2 грядки * 8 минут = 16 минут.

Ответ: Им потребуется 16 минут, чтобы втроем прополоть две грядки.