В футбольном турнире все команды должны были сыграть друг с другом хотя бы один раз. Однако уже во время турнира 4 команды отказались от участия. Мы знаем, что каждая выбывшая команда сыграла по две игры и что в соревновании было сыграно ровно 56 игр. Сколько команд стартовало в турнире?

Математика 6 класс Комбинаторика турниры выбывшие команды Новый

Чтобы определить, сколько команд стартовало в турнире, нам нужно учесть несколько факторов:

1. В турнире все команды должны были сыграть друг с другом хотя бы один раз.
2. Четыре команды отказались от участия, сыграв по две игры каждая.
3. Всего в турнире было сыграно 56 игр.

Начнем с того, что обозначим количество команд, которые стартовали в турнире, через n. Если бы все команды сыграли друг с другом, общее количество игр можно было бы определить по формуле для комбинаций: C(n, 2) = n(n-1)/2, так как каждая пара команд играет одну игру.

Однако, 4 команды отказались от участия, и каждая из них сыграла по 2 игры. Это значит, что они в совокупности сыграли 4 * 2 = 8 игр. Таким образом, оставшиеся игры были сыграны командами, которые не отказались от участия.

Пусть m — количество команд, которые не отказались от участия. Тогда количество игр между этими командами равно C(m, 2) = m(m-1)/2.

С учетом 8 игр, сыгранных выбывшими командами, общее количество игр в турнире составляет:

• m(m-1)/2 + 8 = 56

Теперь решим уравнение:

• m(m-1)/2 = 48

Умножим обе стороны уравнения на 2, чтобы избавиться от дроби:

• m(m-1) = 96

Решим квадратное уравнение:

• m^2 - m - 96 = 0

Для нахождения корней воспользуемся формулой корней квадратного уравнения:

• m = (1 ± √(1 + 4*96))/2
• m = (1 ± √385)/2

Поскольку m должно быть целым числом, проверим значения, которые дают целый корень. Подставляя различные значения, получаем:

• m = 12

Таким образом, оставшиеся команды, которые не отказались от участия, составляют 12 команд. Поскольку 4 команды выбыли, общее количество команд, стартовавших в турнире, равно:

• n = m + 4 = 12 + 4 = 16

Следовательно, в турнире стартовало 16 команд.