Вопрос: По кругу расставлены 80 горшочков, в каждом из которых сидит хотя бы одна лягушка. В любых четырёх подряд горшочках суммарно сидит ровно пять лягушек. Сколько способов у Афанасия выбрать два горшочка, чтобы в них в сумме оказалось ровно три лягушки?
Математика 6 класс Комбинаторика математика 6 класс задача на комбинаторику горшочки с лягушками сумма лягушек выбор горшочков круговая расстановка количество способов комбинаторные задачи арифметические задачи решение задач по математике
Давайте разберем задачу шаг за шагом.
У нас есть 80 горшочков, и в каждом из них сидит хотя бы одна лягушка. Из условия мы знаем, что в любых четырех подряд горшочках суммарно сидит ровно пять лягушек. Это означает, что распределение лягушек в горшочках должно быть довольно равномерным.
Для начала давайте обозначим количество лягушек в каждом горшочке как a1, a2, a3, ..., a80. Тогда мы можем записать следующие уравнения для каждой группы из четырех горшочков:
Если мы вычтем из второго уравнения первое, то получим:
что означает, что a5 = a1. Аналогично, мы можем получить, что все горшочки имеют одинаковое количество лягушек. Таким образом, мы можем сказать, что:
где k - это количество лягушек в каждом горшочке.
Теперь подставим это в одно из уравнений:
откуда находим:
Однако, поскольку количество лягушек должно быть целым числом, это означает, что распределение лягушек не может быть равномерным, если в каждом горшочке должно быть хотя бы по одной лягушке.
Таким образом, мы можем предположить, что в некоторых горшочках по 1 лягушке, а в некоторых по 2. Давайте обозначим количество горшочков с одной лягушкой как x, а с двумя лягушками как y. Тогда у нас есть два уравнения:
Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим y:
Подставим это во второе уравнение:
Упростим:
Теперь подставим значение x в первое уравнение:
Таким образом, у нас есть 60 горшочков с одной лягушкой и 20 горшочков с двумя лягушками.
Теперь, чтобы найти количество способов выбрать два горшочка, в которых в сумме будет ровно три лягушки, мы можем рассмотреть два случая:
Теперь посчитаем количество способов:
Итак, общее количество способов будет:
Таким образом, количество способов выбрать два горшочка, чтобы в них в сумме оказалось ровно три лягушки, равно 1200.
Выше расчёты слишком заморочны и не верны - не учитывают логику.
Для лучшего понимания нарисуем горшки и разобъем по 4 блока с 5 лягушками =20 блоков. В условиях нет данных по хаотичности расположения горшков с 2мя лягушками.
Цапля может взять только рядом стоящие горшки. Логика. Это уже даёт нам минимальное количество способов - 20 случаев (80/4=20).
Если расположить горшки одинаково так: (2 1 1 1)-(2 1 1 1).... (2 1 1 1).
То максимально случаев 40.
Ответ: 20-40 случаев.