Вопрос: По кругу расставлены 80 горшочков, в каждом из которых сидит хотя бы одна лягушка. В любых четырёх подряд горшочках суммарно сидит ровно пять лягушек. Сколько способов у Афанасия выбрать два горшочка, чтобы в них в сумме оказалось ровно три лягушки?

Математика 6 класс Комбинаторика математика 6 класс задача на комбинаторику горшочки с лягушками сумма лягушек выбор горшочков круговая расстановка количество способов комбинаторные задачи арифметические задачи решение задач по математике

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

У нас есть 80 горшочков, и в каждом из них сидит хотя бы одна лягушка. Из условия мы знаем, что в любых четырех подряд горшочках суммарно сидит ровно пять лягушек. Это означает, что распределение лягушек в горшочках должно быть довольно равномерным.

Для начала давайте обозначим количество лягушек в каждом горшочке как a1, a2, a3, ..., a80. Тогда мы можем записать следующие уравнения для каждой группы из четырех горшочков:

• a1 + a2 + a3 + a4 = 5
• a2 + a3 + a4 + a5 = 5
• a3 + a4 + a5 + a6 = 5
• и так далее...

Если мы вычтем из второго уравнения первое, то получим:

• a5 - a1 = 0,

что означает, что a5 = a1. Аналогично, мы можем получить, что все горшочки имеют одинаковое количество лягушек. Таким образом, мы можем сказать, что:

• a1 = a2 = a3 = ... = a80 = k,

где k - это количество лягушек в каждом горшочке.

Теперь подставим это в одно из уравнений:

• 4k = 5,

откуда находим:

• k = 5/4 = 1.25.

Однако, поскольку количество лягушек должно быть целым числом, это означает, что распределение лягушек не может быть равномерным, если в каждом горшочке должно быть хотя бы по одной лягушке.

Таким образом, мы можем предположить, что в некоторых горшочках по 1 лягушке, а в некоторых по 2. Давайте обозначим количество горшочков с одной лягушкой как x, а с двумя лягушками как y. Тогда у нас есть два уравнения:

• x + y = 80,
• x + 2y = 5 * 20 = 100.

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим y:

• y = 80 - x.

Подставим это во второе уравнение:

• x + 2(80 - x) = 100.

Упростим:

• x + 160 - 2x = 100,
• -x + 160 = 100,
• x = 60.

Теперь подставим значение x в первое уравнение:

• 60 + y = 80,
• y = 20.

Таким образом, у нас есть 60 горшочков с одной лягушкой и 20 горшочков с двумя лягушками.

Теперь, чтобы найти количество способов выбрать два горшочка, в которых в сумме будет ровно три лягушки, мы можем рассмотреть два случая:

1. Один горшочек с одной лягушкой и один с двумя лягушками.
2. Два горшочка с одной лягушкой (это не дает нам нужную сумму, так что этот случай не рассматриваем).

Теперь посчитаем количество способов:

• Способы выбрать один горшочек с одной лягушкой: 60.
• Способы выбрать один горшочек с двумя лягушками: 20.

Итак, общее количество способов будет:

• 60 * 20 = 1200.

Таким образом, количество способов выбрать два горшочка, чтобы в них в сумме оказалось ровно три лягушки, равно 1200.

Выше расчёты слишком заморочны и не верны - не учитывают логику. 

Для лучшего понимания нарисуем горшки и разобъем по 4 блока с 5 лягушками =20 блоков. В условиях нет данных по хаотичности расположения горшков с 2мя лягушками. 

Цапля может взять только рядом стоящие горшки. Логика. Это уже даёт нам минимальное количество способов - 20 случаев (80/4=20). 

Если расположить горшки одинаково так: (2 1 1 1)-(2 1 1 1).... (2 1 1 1).

То максимально случаев 40.

Ответ: 20-40 случаев.