Какое количество способов существует для студентов нарисовать котиков на доске размером 2 на 3, если каждый котик занимает от 1 до 2 смежных клеток, и в общей сложности все котики занимают не более трех клеток, при этом учитывается, что одинаковые котики, меняя местами, создают разные варианты?

Математика 6 класс Комбинаторика количество способов котики на доске математика комбинаторика размещение объектов задачи на размещение клеточная решетка Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте разберем ее шаг за шагом.

У нас есть доска размером 2 на 3, что означает, что на ней всего 6 клеток. Котики могут занимать от 1 до 2 смежных клеток, и в общей сложности они могут занимать не более 3 клеток. Это означает, что мы можем разместить котиков в следующих комбинациях:

1. 3 котика по 1 клетке
2. 1 котик на 2 клетки и 1 котик на 1 клетку
3. 1 котик на 3 клетки
4. 2 котика по 2 клетки

Теперь давайте рассмотрим каждую из этих комбинаций по отдельности.

1. Три котика по 1 клетке.

Мы можем выбрать 3 клетки из 6 для размещения котиков. Количество способов выбрать 3 клетки из 6 можно вычислить по формуле сочетаний:

Количество способов = 6! / (3! * (6-3)!) = 20.

Каждого котика можно разместить в выбранных клетках, и поскольку котики одинаковые, количество способов размещения одинаковых котиков в 3 клетках равно 3! = 6. Следовательно, общее количество способов:

20 * 6 = 120.

2. Один котик на 2 клетки и один котик на 1 клетку.

Сначала мы выбираем 2 смежные клетки для котика, который занимает 2 клетки. На доске размером 2 на 3 есть 4 возможных горизонтальных и 2 вертикальных варианта, всего 6 способов.

Теперь у нас остается 4 клетки, из которых мы можем выбрать 1 для второго котика. Это можно сделать 4 способами. Поскольку котики разные, общее количество способов:

6 * 4 = 24.

3. Один котик на 3 клетки.

Котик, занимающий 3 клетки, может быть размещен только в одном из двух вариантов: горизонтально или вертикально. Это дает нам 2 способа.

4. Два котика по 2 клетки.

Это невозможно, так как 2 котика по 2 клетки занимают 4 клетки, и у нас остается только 2 клетки, что не позволяет разместить второго котика.

Теперь мы можем сложить все способы:

• 120 (три котика по 1 клетке)
• 24 (один котик на 2 клетки и один на 1 клетку)
• 2 (один котик на 3 клетки)

Общее количество способов = 120 + 24 + 2 = 146.

Ответ: Существует 146 способов нарисовать котиков на доске размером 2 на 3.