По кругу расставлены шестьдесят горшков. В каждом горшке сидит хотя бы одна лягушка, и в любых трёх стоящих подряд горшках суммарно сидит ровно четыре лягушки. Сколькими способами Анастасия сможет выбрать два горшка так, чтобы в них суммарно оказалось три лягушки?

Математика 6 класс Комбинаторика математика 6 класс задача на лягушек комбинаторика круговые расстановки выбор горшков суммарное количество лягушек задачи на логику математическая логика решение задач круговые задачи количество способов простые задачи по математике Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся с условиями и шаг за шагом найдем решение.

Итак, у нас есть 60 горшков, и в любых трех подряд стоящих горшках суммарно сидит ровно 4 лягушки. Обозначим количество лягушек в каждом горшке через a₁, a₂, ..., a₆₀. Тогда для любого i выполняется условие:

• a_i + a_i+1 + a_i+2 = 4 (где индексы считаются по модулю 60, то есть после 60-го идет 1-й).

Теперь давайте найдем количество лягушек в каждом горшке. Рассмотрим три подряд стоящих горшка a_i, a_i+1, a_i+2:

• Пусть a_i = 1, тогда a_i+1 + a_i+2 = 3.
• Если a_i+1 = 1, то a_i+2 = 2.
• Если a_i+1 = 2, то a_i+2 = 1.

Таким образом, единственное возможное распределение лягушек в трех подряд стоящих горшках — это (1, 2, 1) или (2, 1, 1). Однако, поскольку в любых трех подряд стоящих горшках суммарно 4 лягушки, то распределение (1, 2, 1) повторяется по кругу.

Теперь мы знаем, что в каждом горшке по кругу повторяется последовательность: 1, 2, 1. Это значит, что:

• Горшки с 1 лягушкой: a₁, a₃, a₅, ..., a₅₉.
• Горшки с 2 лягушками: a₂, a₄, a₆, ..., a₆₀.

Теперь задача сводится к выбору двух горшков так, чтобы в них суммарно оказалось 3 лягушки. Возможные пары горшков:

• Горшок с 1 лягушкой и горшок с 2 лягушками.

Количество таких пар можно найти, перемножив количество горшков с 1 лягушкой и количество горшков с 2 лягушками:

• Всего горшков с 1 лягушкой: 30.
• Всего горшков с 2 лягушками: 30.

Таким образом, количество способов выбрать два горшка так, чтобы в них суммарно оказалось 3 лягушки, равно 30 * 30 = 900.