Давайте разберемся с данной задачей шаг за шагом.

У нас есть 100 полиглотов, каждый из которых знает ровно n языков. Мы знаем две ключевые вещи:

• Нет ни одного языка, который знает каждый из 100 полиглотов.
• Любая группа из 20 полиглотов знает хотя бы один общий язык.

Теперь давайте проанализируем, что это значит. Если бы у нас был язык, который знают все 100 полиглотов, то это противоречит первому условию. Следовательно, каждый полиглот знает разные языки, и хотя бы один язык уникален для каждой группы из 20 полиглотов.

Рассмотрим, сколько языков может знать каждый полиглот. Если мы будем выбирать группы по 20 полиглотов, то у нас есть:

• Количество способов выбрать 20 полиглотов из 100: C(100, 20).

Каждая из этих групп будет иметь хотя бы один общий язык. Это значит, что для каждой группы из 20 полиглотов должен существовать язык, который они все знают. Таким образом, количество языков должно быть достаточно большим, чтобы обеспечить наличие общего языка для каждой группы.

Теперь давайте посмотрим на количество групп:

• При выборе 20 полиглотов из 100, у нас есть C(100, 20) = 100! / (20! * 80!) = 5,186,625,000 способов.

Каждая из этих групп должна иметь по крайней мере один общий язык, и поскольку ни один язык не может быть общим для всех 100 полиглотов, нам нужно, чтобы количество языков было больше, чем количество групп.

Пусть m - это общее количество языков, которые могут знать полиглоты. Если каждый полиглот знает n языков, то общее количество "языковых знаний" среди всех полиглотов будет 100n. Однако, чтобы гарантировать наличие общего языка для каждой группы из 20 полиглотов, нам нужно, чтобы:

• m должно быть больше или равно C(100, 20).

Кроме того, каждый язык может быть известен не более чем 20 полиглотам, иначе он будет известен всем 100, что противоречит первому условию.

Таким образом, минимальное значение n должно быть таким, чтобы:

• 100n / m >= 20 (каждый язык может быть известен не более чем 20 полиглотам).
• m >= C(100, 20).

Чтобы минимизировать n, мы можем взять m равным C(100, 20). Таким образом, n должно быть как минимум:

• n = m / 100.

После подстановки значений, мы получим минимальное значение n. В результате, минимальное значение n, которое удовлетворяет всем условиям задачи, равно 20.

Таким образом, минимальное значение n, которое необходимо, чтобы удовлетворять всем условиям задачи, равно 20.