В Лапландии 21 город, из каждого из которых выходит либо 3, либо 5 дорог. Возможно ли это?

Математика 6 класс Комбинаторика Лапландия города дороги математика 6 класс задача на графы комбинаторика Новый

Чтобы ответить на вопрос, давайте рассмотрим, как связаны города и дороги в Лапландии. Мы знаем, что из каждого города выходит либо 3, либо 5 дорог. Это значит, что количество дорог, выходящих из всех городов, должно быть четным числом. Почему? Давайте разберемся.

Шаг 1: Понимание связей между городами и дорогами

• Каждая дорога соединяет два города.
• Если из одного города выходит 3 дороги, это значит, что он соединен с 3 другими городами.
• Если из другого города выходит 5 дорог, то он соединен с 5 другими городами.

Шаг 2: Подсчет общего количества дорог

Обозначим количество городов, из которых выходит 3 дороги, как x, а количество городов, из которых выходит 5 дорог, как y. Тогда у нас есть система уравнений:

• x + y = 21 (всего 21 город)
• 3x + 5y = D (где D - общее количество дорог)

Однако, как мы уже упоминали, каждая дорога соединяет два города, поэтому общее количество дорог D должно быть четным числом. А теперь давайте посмотрим, какое количество дорог мы получим в зависимости от значений x и y.

Шаг 3: Разбор четности

• Когда мы считаем 3x, это дает нам количество "дорог", выходящих из городов с 3 дорогами.
• 5y дает количество "дорог", выходящих из городов с 5 дорогами.

Теперь давайте подумаем о четности:

• 3x - четное, если x четное.
• 5y - всегда четное, если y четное, и нечетное, если y нечетное.

Таким образом, сумма 3x + 5y будет четной, только если x и y имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные).

Шаг 4: Проверка возможных комбинаций

Теперь давайте подставим разные значения для x и y, чтобы увидеть, возможно ли, чтобы оба были четными или нечетными:

• Если x четное, то y также должно быть четным.
• Если x нечетное, то y должно быть нечетным.

Однако, учитывая, что общее количество городов 21 (нечетное число), это означает, что одно из x или y должно быть нечетным, а другое - четным. Это приводит к тому, что сумма 3x + 5y будет нечетной, что противоречит нашему выводу, что D должно быть четным.

Вывод

Таким образом, в Лапландии невозможно, чтобы из каждого города выходило либо 3, либо 5 дорог, так как это приведет к противоречию в четности общего количества дорог.