Вопрос: По кругу расставлены 60 горшков, в каждом из которых сидит хотя бы одна лягушка. В любых трёх подряд стоящих горшках суммарно сидит ровно четыре лягушки. Сколько способов есть у цапли Анастасии выбрать два горшка так, чтобы в них оказалось ровно три лягушки?

Математика 6 класс Комбинаторика математика 6 класс задача по математике круговые горшки лягушки в горшках комбинаторика количество способов арифметика логические задачи решение задач школьная математика Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте внимательно рассмотрим условия и шаги решения:

1. Понять условия задачи:

   У нас есть 60 горшков, и в каждом из них сидит хотя бы одна лягушка. В любых трёх подряд стоящих горшках суммарно сидит ровно четыре лягушки. Нужно найти количество способов выбрать два горшка так, чтобы в них оказалось ровно три лягушки.

2. Записать уравнение для горшков:

   Обозначим количество лягушек в i-ом горшке через x_i. Тогда условие задачи можно записать в виде уравнения:

   x_i + x_i+1 + x_i+2 = 4 для всех i от 1 до 60, где индексы считаются по модулю 60 (то есть после 60 идет 1).

3. Рассмотреть систему уравнений:

   Из первого уравнения: x₁ + x₂ + x₃ = 4.

   Из второго уравнения: x₂ + x₃ + x₄ = 4.

   Путем вычитания второго из первого получаем: x₁ = x₄.

   Аналогично, вычитая следующее уравнение, получаем, что x₂ = x₅, x₃ = x₆ и так далее.

4. Вывод о периодичности:

   Из этого видно, что количество лягушек в горшках повторяется через каждые три горшка. То есть, есть три различных значения, которые повторяются по кругу.

5. Использовать периодичность для вычислений:

   Пусть x₁ = a, x₂ = b, x₃ = c. Тогда a + b + c = 4 и они повторяются.

   Мы должны найти два горшка, в которых суммарно 3 лягушки. Рассмотрим возможные комбинации:

   • a + b = 3
   • b + c = 3
   • c + a = 3
6. Подсчет количества подходящих пар горшков:

   Так как у нас 60 горшков и периодичность равна 3, то каждый из трех вариантов (a + b, b + c, c + a) будет повторяться 20 раз (60/3 = 20).

   Таким образом, количество способов выбрать два горшка, чтобы в них было ровно три лягушки, равно 20 + 20 + 20 = 60.

Таким образом, у цапли Анастасии есть 60 способов выбрать два горшка с ровно тремя лягушками.