Если разность чисел abc и def делится на 7, то как можно доказать, что число abcdef также делится на 7?

Математика 7 класс Делимость чисел разность чисел делимость на 7 доказательство делимости числа abc и def число abcdef свойства делимости математика 7 класс Новый

Давайте разберем задачу пошагово. Нам даны два числа: abc и def. Мы знаем, что разность этих чисел делится на 7, то есть:

abc - def делится на 7.

Наша цель - доказать, что число abcdef также делится на 7.

Для начала представим числа abc и def в более удобной форме:

• abc можно представить как 100a + 10b + c, где a, b, c - цифры числа abc.
• def можно представить как 100d + 10e + f, где d, e, f - цифры числа def.

Теперь запишем разность:

abc - def = (100a + 10b + c) - (100d + 10e + f) = 100(a - d) + 10(b - e) + (c - f).

Поскольку мы знаем, что эта разность делится на 7, мы можем записать это как:

100(a - d) + 10(b - e) + (c - f) ≡ 0 (mod 7).

Теперь давайте рассмотрим, как число abcdef можно представить:

abcdef = 100000a + 10000b + 1000c + 100d + 10e + f.

Теперь мы можем выделить части этого числа:

abcdef = 1000(100a + 10b + c) + (100d + 10e + f) = 1000 * abc + def.

Теперь давайте проверим, делится ли abcdef на 7:

Согласно нашему предположению, разность abc - def делится на 7. Это значит, что:

abc ≡ def (mod 7).

Следовательно, мы можем записать:

abcdef = 1000 * abc + def.

Теперь, чтобы показать, что abcdef делится на 7, нам нужно проверить, делится ли 1000 * abc + def на 7.

Мы знаем, что abc ≡ def (mod 7), что значит, что abc = def + 7k для некоторого целого k. Подставим это в выражение для abcdef:

1000 * abc + def = 1000 * (def + 7k) + def = 1000 * def + 7000k + def = (1000 + 1) * def + 7000k.

Теперь заметим, что 1001 * def делится на 7, так как 1001 = 7 * 143, и 7000k также делится на 7.

Таким образом, abcdef делится на 7:

abcdef ≡ 0 (mod 7).

В итоге, мы доказали, что если разность чисел abc и def делится на 7, то и число abcdef также делится на 7.