К числу 15 добавьте слева и справа по одной цифре так, чтобы полученное число делилось на 15. Перечислите все возможные варианты. Докажите, что других нет.

Математика 7 класс Делимость чисел математика 7 класс число 15 добавление цифр делимость на 15 варианты доказательство задачи по математике числовые операции число с цифрами деление примеры решение задач Новый

Чтобы решить эту задачу, начнем с того, что число, которое мы получим, добавляя цифры слева и справа к числу 15, должно делиться на 15. Число делится на 15, если оно делится одновременно на 3 и на 5.

Шаг 1: Условия делимости на 5

• Чтобы число делилось на 5, его последняя цифра должна быть 0 или 5.

Шаг 2: Условия делимости на 3

• Чтобы число делилось на 3, сумма его цифр должна быть кратна 3.

Теперь рассмотрим, как мы можем добавить цифры слева и справа к числу 15. Обозначим добавляемую слева цифру как x, а добавляемую справа цифру как y. Тогда полученное число будет выглядеть как xy15.

Поскольку y может быть только 0 или 5 (из условия делимости на 5), рассмотрим оба случая:

1. Случай 1: y = 0
• Тогда число будет x015.
• Сумма цифр: x + 0 + 1 + 5 = x + 6.
• Чтобы число делилось на 3, x + 6 должно быть кратно 3.
• Проверим возможные значения x (0-9):
• x = 0: 0 + 6 = 6 (кратно 3)
• x = 1: 1 + 6 = 7 (не кратно 3)
• x = 2: 2 + 6 = 8 (не кратно 3)
• x = 3: 3 + 6 = 9 (кратно 3)
• x = 4: 4 + 6 = 10 (не кратно 3)
• x = 5: 5 + 6 = 11 (не кратно 3)
• x = 6: 6 + 6 = 12 (кратно 3)
• x = 7: 7 + 6 = 13 (не кратно 3)
• x = 8: 8 + 6 = 14 (не кратно 3)
• x = 9: 9 + 6 = 15 (кратно 3)
• Таким образом, возможные значения x: 0, 3, 6, 9. Полученные числа: 0015, 3015, 6015, 9015.
2. Случай 2: y = 5
• Тогда число будет x515.
• Сумма цифр: x + 5 + 1 + 5 = x + 11.
• Чтобы число делилось на 3, x + 11 должно быть кратно 3.
• Проверим возможные значения x (0-9):
• x = 0: 0 + 11 = 11 (не кратно 3)
• x = 1: 1 + 11 = 12 (кратно 3)
• x = 2: 2 + 11 = 13 (не кратно 3)
• x = 3: 3 + 11 = 14 (не кратно 3)
• x = 4: 4 + 11 = 15 (кратно 3)
• x = 5: 5 + 11 = 16 (не кратно 3)
• x = 6: 6 + 11 = 17 (не кратно 3)
• x = 7: 7 + 11 = 18 (кратно 3)
• x = 8: 8 + 11 = 19 (не кратно 3)
• x = 9: 9 + 11 = 20 (не кратно 3)
• Таким образом, возможные значения x: 1, 4, 7. Полученные числа: 1515, 4515, 7515.

Итог: Все возможные варианты, которые мы получили, это:

• 0015
• 3015
• 6015
• 9015
• 1515
• 4515
• 7515

Таким образом, мы доказали, что других вариантов нет, так как только указанные числа соответствуют условиям задачи.