Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 504, 2520 и 4000, мы можем использовать несколько методов. Рассмотрим их по порядку.

Первый способ - это разложение каждого числа на простые множители.

1. Разложим 504:
   • 504 = 2 * 252
   • 252 = 2 * 126
   • 126 = 2 * 63
   • 63 = 3 * 21
   • 21 = 3 * 7

   Таким образом, 504 = 2^3 * 3^2 * 7^1.

2. Разложим 2520:
   • 2520 = 2 * 1260
   • 1260 = 2 * 630
   • 630 = 2 * 315
   • 315 = 3 * 105
   • 105 = 3 * 35
   • 35 = 5 * 7

   Таким образом, 2520 = 2^3 * 3^2 * 5^1 * 7^1.

3. Разложим 4000:
   • 4000 = 2 * 2000
   • 2000 = 2 * 1000
   • 1000 = 2 * 500
   • 500 = 2 * 250
   • 250 = 2 * 125
   • 125 = 5 * 25
   • 25 = 5 * 5

   Таким образом, 4000 = 2^5 * 5^3.

Теперь, чтобы найти НОД, мы берем минимальные степени всех простых множителей:

• 2: min(3, 3, 5) = 3
• 3: min(2, 2, 0) = 0
• 5: min(0, 1, 3) = 0
• 7: min(1, 1, 0) = 0

Таким образом, НОД(504, 2520, 4000) = 2^0 * 3^0 * 5^0 * 7^0 = 1.

Чтобы найти НОК, мы берем максимальные степени всех простых множителей:

• 2: max(3, 3, 5) = 5
• 3: max(2, 2, 0) = 2
• 5: max(0, 1, 3) = 3
• 7: max(1, 1, 0) = 1

Таким образом, НОК(504, 2520, 4000) = 2^5 * 3^2 * 5^3 * 7^1 = 84000.

Также можно использовать алгоритм Евклида для нахождения НОД. Например:

1. Сначала находим НОД(504, 2520):
   • 2520 = 504 * 5 + 0

   Следовательно, НОД(504, 2520) = 504.

2. Теперь находим НОД(504, 4000):
   • 4000 = 504 * 7 + 88
   • 504 = 88 * 5 + 64
   • 88 = 64 * 1 + 24
   • 64 = 24 * 2 + 16
   • 24 = 16 * 1 + 8
   • 16 = 8 * 2 + 0

   Следовательно, НОД(504, 4000) = 8.

Существует также связь между НОД и НОК:

НОК(a, b) = (a * b) / НОД(a, b).

Используя НОД(504, 2520) = 504 и НОД(504, 4000) = 8, можно найти НОК(504, 4000) через НОД:

НОК(504, 4000) = (504 * 4000) / 8 = 252000.

Таким образом, мы нашли НОД и НОК для чисел 504, 2520 и 4000 разными способами. НОД равен 8, а НОК равен 84000.