Чтобы определить наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) для заданных чисел, мы можем использовать метод разложения на простые множители. Давайте рассмотрим каждый из примеров по порядку.

а) 18 и 32

1. Сначала разложим каждое число на простые множители:
• 18 = 2 × 3²
• 32 = 2⁵
2. Теперь найдем НОД. Для этого берем произведение всех простых множителей, которые встречаются в разложениях, взятых в наименьшей степени:
• НОД(18, 32) = 2¹ = 2
3. Теперь найдем НОК. Для этого берем произведение всех простых множителей, которые встречаются в разложениях, взятых в наибольшей степени:
• НОК(18, 32) = 2⁵ × 3² = 32 × 9 = 288

б) 42 и 105

1. Разложим числа на простые множители:
• 42 = 2 × 3 × 7
• 105 = 3 × 5 × 7
2. Находим НОД:
• НОД(42, 105) = 3¹ × 7¹ = 21
3. Теперь найдем НОК:
• НОК(42, 105) = 2¹ × 3¹ × 5¹ × 7¹ = 2 × 3 × 5 × 7 = 210

в) 60, 80 и 140

1. Разложим числа на простые множители:
• 60 = 2² × 3¹ × 5¹
• 80 = 2⁴ × 5¹
• 140 = 2² × 5¹ × 7¹
2. Находим НОД:
• НОД(60, 80, 140) = 2² × 5¹ = 20
3. Теперь найдем НОК:
• НОК(60, 80, 140) = 2⁴ × 3¹ × 5¹ × 7¹ = 16 × 3 × 5 × 7 = 1680

Таким образом, мы нашли НОД и НОК для всех заданных пар и тройки чисел:

• а) НОД = 2, НОК = 288
• б) НОД = 21, НОК = 210
• в) НОД = 20, НОК = 1680