Как можно разложить многочлен x^3 + 28 - 14x^2 - 2x на множители?

Математика 7 класс Разложение многочленов на множители разложение многочлена множители математические задачи алгебра x^3 + 28 - 14x^2 - 2x Новый

Чтобы разложить многочлен x^3 + 28 - 14x^2 - 2x на множители, начнем с упорядочивания его по степеням x. Запишем многочлен в стандартном виде:

x^3 - 14x^2 - 2x + 28

Теперь мы можем попробовать использовать метод группировки или найти корни многочлена с помощью теоремы Виета. Для начала найдем возможные рациональные корни, используя делители свободного члена (28) и коэффициента при старшей степени (1).

• Делители 28: ±1, ±2, ±4, ±7, ±14, ±28

Теперь подставим эти значения в многочлен и проверим, является ли какое-либо из них корнем:

1. Подставим x = 1:

x^3 - 14x^2 - 2x + 28 = 1 - 14 - 2 + 28 = 13 (не корень)

2. Подставим x = 2:

x^3 - 14x^2 - 2x + 28 = 8 - 56 - 4 + 28 = -24 (не корень)

3. Подставим x = 4:

x^3 - 14x^2 - 2x + 28 = 64 - 224 - 8 + 28 = -140 (не корень)

4. Подставим x = 7:

x^3 - 14x^2 - 2x + 28 = 343 - 686 - 14 + 28 = -329 (не корень)

5. Подставим x = -1:

x^3 - 14x^2 - 2x + 28 = -1 - 14 + 2 + 28 = 15 (не корень)

6. Подставим x = -2:

x^3 - 14x^2 - 2x + 28 = -8 - 56 + 4 + 28 = -32 (не корень)

7. Подставим x = -4:

x^3 - 14x^2 - 2x + 28 = -64 - 224 + 8 + 28 = -252 (не корень)

8. Подставим x = -7:

x^3 - 14x^2 - 2x + 28 = -343 - 686 + 14 + 28 = -987 (не корень)

9. Подставим x = -14:

x^3 - 14x^2 - 2x + 28 = -2744 - 2744 + 28 + 28 = -5488 (не корень)

10. Подставим x = -28:

x^3 - 14x^2 - 2x + 28 = -21952 - 10976 + 56 + 28 = -32844 (не корень)

Как видим, ни один из предложенных корней не подошел. Попробуем использовать метод группировки. Объединим члены многочлена:

(x^3 - 14x^2) + (-2x + 28)

Теперь вынесем общий множитель:

x^2(x - 14) - 2(x - 14)

Теперь видно, что (x - 14) является общим множителем:

(x - 14)(x^2 - 2)

Теперь можем разложить x^2 - 2 на множители:

(x - 14)(x - √2)(x + √2)

Таким образом, окончательное разложение многочлена x^3 + 28 - 14x^2 - 2x на множители выглядит следующим образом:

(x - 14)(x - √2)(x + √2)