Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел a и b, используя их разложения на множители, нужно выполнить несколько шагов. Давайте рассмотрим каждый из примеров по порядку.

1. Определите разложения чисел a и b на простые множители.
2. Для каждого простого множителя найдите минимальную степень, с которой он встречается в обоих разложениях.
3. Умножьте все найденные множители с их минимальными степенями. Это и будет НОД.

1. Пример a = 2^2 * 3^5 и b = 2^3 * 3^3

• Разложение a: 2^2 и 3^5.
• Разложение b: 2^3 и 3^3.
• Теперь находим минимальные степени:
• Для 2: min(2, 3) = 2.
• Для 3: min(5, 3) = 3.
• Теперь умножаем: НОД = 2^2 * 3^3 = 4 * 27 = 108.

2. Пример a = 2^1 * 3^2 * 11^1 и b = 2^2 * 5^1 * 11^1

• Разложение a: 2^1, 3^2, 11^1.
• Разложение b: 2^2, 5^1, 11^1.
• Минимальные степени:
• Для 2: min(1, 2) = 1.
• Для 3: min(2, 0) = 0 (так как 3 в b нет).
• Для 11: min(1, 1) = 1.
• Теперь умножаем: НОД = 2^1 * 3^0 * 11^1 = 2 * 1 * 11 = 22.

3. Пример a = 2^2 * 5^1 * 7^1 и b = 2^1 * 7^1 * 11^1

• Разложение a: 2^2, 5^1, 7^1.
• Разложение b: 2^1, 7^1, 11^1.
• Минимальные степени:
• Для 2: min(2, 1) = 1.
• Для 5: min(1, 0) = 0 (так как 5 в b нет).
• Для 7: min(1, 1) = 1.
• Теперь умножаем: НОД = 2^1 * 5^0 * 7^1 = 2 * 1 * 7 = 14.

4. Пример a = 2^2 * 2^1 * 3^2 и b = 5^1 * 7^1 * 11^1

• Разложение a: 2^3, 3^2.
• Разложение b: 5^1, 7^1, 11^1.
• Минимальные степени:
• Для 2: min(3, 0) = 0 (так как 2 в b нет).
• Для 3: min(2, 0) = 0 (так как 3 в b нет).
• Для 5: min(0, 1) = 0.
• Для 7: min(0, 1) = 0.
• Для 11: min(0, 1) = 0.
• Теперь умножаем: НОД = 2^0 * 3^0 * 5^0 * 7^0 * 11^0 = 1.

Таким образом, мы нашли НОД для всех примеров, следуя указанным шагам. Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать!