Как найти НОД и НОК для чисел 1080, 2160 и 1350?

Математика 7 класс Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное НОД НОК числа 1080 2160 1350 математика 7 класс нахождение делители кратные алгоритм примеры задачи решение дроби числовые операции Новый

Чтобы найти наибольший общий делитель (НОД) и наименьшее общее кратное (НОК) для чисел 1080, 2160 и 1350, мы можем использовать метод разложения чисел на простые множители. Давайте разберем этот процесс шаг за шагом.

Шаг 1: Разложение чисел на простые множители

Начнем с разложения каждого числа на простые множители.

• 1080:
  • 1080 = 2 x 540
  • 540 = 2 x 270
  • 270 = 2 x 135
  • 135 = 3 x 45
  • 45 = 3 x 15
  • 15 = 3 x 5

  Таким образом, 1080 = 2^3 x 3^3 x 5^1.

• 2160:
  • 2160 = 2 x 1080
  • 1080 = 2^3 x 3^3 x 5^1 (мы уже нашли это разложение)

  Также можно разложить 2160 как 2^4 x 3^3 x 5^1.

• 1350:
  • 1350 = 2 x 675
  • 675 = 3 x 225
  • 225 = 3 x 75
  • 75 = 3 x 25
  • 25 = 5 x 5

  Таким образом, 1350 = 2^1 x 3^3 x 5^2.

Теперь у нас есть разложения:

• 1080 = 2^3 x 3^3 x 5^1
• 2160 = 2^4 x 3^3 x 5^1
• 1350 = 2^1 x 3^3 x 5^2

Шаг 2: Нахождение НОД

Чтобы найти НОД, мы берем минимальные степени всех простых множителей, которые встречаются в разложениях:

• Для 2: минимальная степень = min(3, 4, 1) = 1
• Для 3: минимальная степень = min(3, 3, 3) = 3
• Для 5: минимальная степень = min(1, 1, 2) = 1

Таким образом, НОД = 2^1 x 3^3 x 5^1 = 2 x 27 x 5 = 270.

Шаг 3: Нахождение НОК

Чтобы найти НОК, мы берем максимальные степени всех простых множителей:

• Для 2: максимальная степень = max(3, 4, 1) = 4
• Для 3: максимальная степень = max(3, 3, 3) = 3
• Для 5: максимальная степень = max(1, 1, 2) = 2

Таким образом, НОК = 2^4 x 3^3 x 5^2 = 16 x 27 x 25.

Теперь давайте посчитаем НОК:

• 16 x 27 = 432
• 432 x 25 = 10800

Итак, НОК = 10800.

Ответ: НОД для чисел 1080, 2160 и 1350 равен 270, а НОК равен 10800.