Как вычислить сумму 15 членов арифметической прогрессии, зная, что a3 + a13 = 42?

Математика 7 класс Арифметическая прогрессия арифметическая прогрессия сумма членов прогрессии вычисление суммы a3 + a13 математика 7 класс задачи по математике прогрессии математические формулы решение задач уроки математики Новый

Чтобы вычислить сумму 15 членов арифметической прогрессии, зная, что a3 + a13 = 42, нам нужно следовать нескольким шагам.

1. Определим формулу для n-го члена арифметической прогрессии. Члены арифметической прогрессии можно выразить через первый член и разность:

• a_n = a₁ + (n - 1)d,

где a₁ - первый член прогрессии, d - разность прогрессии.

2. Запишем a3 и a13 через a1 и d.

• a₃ = a₁ + 2d,
• a₁₃ = a₁ + 12d.

3. Сложим эти два выражения.

Согласно условию задачи, a₃ + a₁₃ = 42. Подставим наши выражения:

• (a₁ + 2d) + (a₁ + 12d) = 42.

Это можно упростить:

• 2a₁ + 14d = 42.

4. Упростим уравнение.

Разделим все члены на 2:

• a₁ + 7d = 21.

5. Теперь найдем сумму первых 15 членов арифметической прогрессии. Сумма первых n членов арифметической прогрессии вычисляется по формуле:

• S_n = n/2 * (a₁ + a_n),

где a_n - n-й член прогрессии. Для 15 членов:

• S₁₅ = 15/2 * (a₁ + a₁₅).

6. Вычислим a₁₅.

• a₁₅ = a₁ + 14d.

7. Подставим a₁ и a₁₅ в формулу суммы.

Теперь мы можем подставить значения:

• S₁₅ = 15/2 * (a₁ + (a₁ + 14d)) = 15/2 * (2a₁ + 14d).

Это можно упростить:

• S₁₅ = 15/2 * 2(a₁ + 7d) = 15(a₁ + 7d).

8. Теперь подставим значение a₁ + 7d.

Мы уже нашли, что a₁ + 7d = 21. Подставим это значение в формулу:

• S₁₅ = 15 * 21 = 315.

Ответ: Сумма 15 членов арифметической прогрессии равна 315.