Для решения этой задачи давайте проанализируем, как можно раскрасить клетчатую доску размером n×n, чтобы избежать ситуации, когда в одной строке и одном столбце будет по три клетки одного цвета.

Мы будем использовать метод, основанный на принципе Дирихле, который говорит, что если у нас есть m контейнеров и n предметов, и n > m, то по крайней мере один контейнер должен содержать более одного предмета.

В нашем случае мы имеем три цвета: зелёный, синий и белый. Мы хотим выяснить, какое наименьшее значение n нужно, чтобы на доске размером n×n обязательно нашлись хотя бы одна строка и один столбец, содержащие по три клетки одного цвета.

Рассмотрим, как можно раскрасить доску, чтобы избежать такой ситуации:

• Для n=1: у нас всего одна клетка, и она может быть любого цвета.
• Для n=2: у нас 4 клетки, и мы можем раскрасить их так, чтобы не было ни одной строки и столбца с тремя клетками одного цвета. Например, раскраска может быть следующей:
• Зелёный, Синий
• Синий, Белый
• Для n=3: у нас 9 клеток. Мы можем попробовать раскрасить их так:
• Зелёный, Синий, Белый
• Синий, Белый, Зелёный
• Белый, Зелёный, Синий
• Для n=4: у нас 16 клеток. Мы можем раскрасить их так:
• Зелёный, Синий, Белый, Зелёный
• Синий, Белый, Зелёный, Синий
• Белый, Зелёный, Синий, Белый
• Зелёный, Синий, Белый, Зелёный

Однако, когда n увеличивается, становится сложнее избежать ситуации, когда в строке и столбце окажется по три клетки одного цвета. Давайте проанализируем, что происходит при n=5:

• Для n=5: у нас 25 клеток. Попробуем раскрасить их так, чтобы избежать трёх одинаковых клеток в строках и столбцах. Однако при любом раскрашивании, используя всего три цвета, мы неизбежно столкнёмся с тем, что в одной строке или столбце окажется три клетки одного цвета.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что наименьшее значение n, при котором в любой раскраске на клетчатой доске размером n×n обязательно найдутся хотя бы одна строка и один столбец с тремя клетками одного цвета, равно 5.

Ответ: n = 5.