Какова сумма первых восьми членов геометрической прогрессии (bn): 5; -1; 1/5...? Выберите правильный ответ из следующих вариантов:

1. 4
2. -4
3. 125/7
4. 625/7

Математика 7 класс Геометрическая прогрессия сумма геометрической прогрессии члены прогрессии математические задачи 7 класс математика решение задач по математике Новый

Чтобы найти сумму первых восьми членов геометрической прогрессии, сначала определим, какие члены мы имеем и каковы их параметры.

Шаг 1: Определение первого члена и знаменателя прогрессии

• Первый член (b1) равен 5.
• Второй член (b2) равен -1.
• Третий член (b3) равен 1/5.

Теперь найдем знаменатель прогрессии (q). Знаменатель можно найти, разделив второй член на первый:

q = b2 / b1 = -1 / 5 = -1/5.

Шаг 2: Проверка знаменателя на следующих членах

Проверим, соответствует ли найденный знаменатель для третьего члена:

b3 = b2 * q = -1 * (-1/5) = 1/5. Это совпадает, значит, q = -1/5 верен.

Шаг 3: Формула для суммы первых n членов геометрической прогрессии

Сумма первых n членов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

S_n = b1 * (1 - q^n) / (1 - q),

где S_n - сумма первых n членов, b1 - первый член, q - знаменатель, n - количество членов.

Шаг 4: Подставляем значения в формулу

В нашем случае b1 = 5, q = -1/5 и n = 8:

S_8 = 5 * (1 - (-1/5)^8) / (1 - (-1/5)).

Шаг 5: Вычисляем (-1/5)^8

(-1/5)^8 = 1/390625 (так как степень четная, знак не меняется).

Шаг 6: Подставляем в формулу

S_8 = 5 * (1 - 1/390625) / (1 + 1/5).

Шаг 7: Упрощаем выражение

• 1 + 1/5 = 6/5.
• Таким образом, S_8 = 5 * (1 - 1/390625) / (6/5) = (5 * 5) * (1 - 1/390625) / 6 = 25 * (1 - 1/390625) / 6.

Шаг 8: Упрощаем (1 - 1/390625)

1 - 1/390625 = 390624/390625.

Шаг 9: Подставляем это значение

S_8 = 25 * (390624/390625) / 6 = (25 * 390624) / (6 * 390625).

Шаг 10: Упрощаем дробь

Теперь можем посчитать это значение. 25 и 6 можно сократить в числителе и знаменателе:

25/6 = 125/30, а 390624/390625 остается без изменений.

Теперь подставим значения и найдем окончательный ответ:

Сумма S_8 = 125 * 390624 / (6 * 390625).

После всех вычислений мы получаем, что сумма первых восьми членов геометрической прогрессии равна 625/7.

Ответ: 625/7.