Для решения этой задачи нам нужно понять, что Миран загадал натуральное число, которое мы обозначим как N, и возводил его в степень k, где k - натуральное число, не равное 1. После этого он поделил результат на X, и в результате получил 10584.

Таким образом, мы можем записать уравнение:

N^k = 10584 * X

Теперь, чтобы найти наименьшее значение X, нам нужно сначала разложить число 10584 на простые множители. Это поможет нам понять, какие значения N и k могут быть.

Начнем с разложения 10584:

1. 10584 делится на 2, так как оно четное: 10584 / 2 = 5292.
2. 5292 также делится на 2: 5292 / 2 = 2646.
3. 2646 делится на 2: 2646 / 2 = 1323.
4. 1323 делится на 3: 1323 / 3 = 441.
5. 441 делится на 3: 441 / 3 = 147.
6. 147 делится на 3: 147 / 3 = 49.
7. 49 делится на 7: 49 / 7 = 7.
8. 7 делится на 7: 7 / 7 = 1.

Теперь мы можем записать разложение 10584 на простые множители:

10584 = 2^3 * 3^3 * 7^2

Теперь, зная разложение на простые множители, мы можем понять, как N^k может выглядеть. Чтобы минимизировать X, нам нужно, чтобы N^k было как можно меньшим, но при этом делилось на 10584.

Рассмотрим, что N может быть составлено из простых множителей 10584. Наименьшее значение X будет получено, если N взять в виде произведения минимальных степеней простых множителей.

Попробуем взять N = 42 (так как 42 = 2^1 * 3^1 * 7^1),и возведем его в степень 2:

N^2 = 42^2 = 1764

Теперь найдем X:

X = N^k / 10584 = 1764 / 10584 = 1 / 6.

Это не натуральное число, поэтому попробуем взять N = 84 (так как 84 = 2^2 * 3^1 * 7^1),и возведем его в степень 2:

N^2 = 84^2 = 7056

Теперь найдем X:

X = 7056 / 10584 = 2 / 3.

Это тоже не натуральное число. Далее, пробуем N = 126 (так как 126 = 2^1 * 3^2 * 7^1),и возводим в степень 2:

N^2 = 126^2 = 15876

Теперь найдем X:

X = 15876 / 10584 = 3 / 2.

Это тоже не натуральное число. Так как мы видим, что X не получается натуральным, попробуем взять N = 84 и возвести в степень 3:

N^3 = 84^3 = 592704

Теперь найдем X:

X = 592704 / 10584 = 56.

Таким образом, наименьшее значение, которое может принимать число X, равно 56.