Давайте преобразуем периодические десятичные дроби в обыкновенные и вычислим значения выражений шаг за шагом.

1. Преобразуем 0,666... в обыкновенную дробь.

Обозначим 0,666... как x:

1. x = 0,666...
2. Умножим обе стороны на 10: 10x = 6,666...
3. Теперь вычтем первое уравнение из второго: 10x - x = 6,666... - 0,666...
4. Это даст нам: 9x = 6
5. Разделим обе стороны на 9: x = 6/9 = 2/3.

2. Преобразуем 0,25 в обыкновенную дробь.

0,25 = 25/100 = 1/4.

3. Преобразуем 0,64 в обыкновенную дробь.

0,64 = 64/100 = 16/25.

Теперь подставим все преобразования в первое выражение:

0,666... - 0,25 + 12,5 * 0,64 = 2/3 - 1/4 + 12,5 * 16/25.

Вычислим 12,5 * 16/25:

1. 12,5 = 125/10 = 25/2.
2. Теперь: 25/2 * 16/25 = 16/2 = 8.

Теперь подставим это значение в выражение:

2/3 - 1/4 + 8.

Найдем общий знаменатель для дробей 2/3 и 1/4:

• Общий знаменатель = 12.
• 2/3 = 8/12.
• 1/4 = 3/12.

Теперь подставим дроби:

8/12 - 3/12 + 8 = (8 - 3)/12 + 8 = 5/12 + 8.

Теперь переведем 8 в дробь с общим знаменателем:

8 = 96/12.

Теперь сложим дроби:

5/12 + 96/12 = 101/12.

Теперь переходим ко второму выражению:

0,12333... - 0,0925.

Преобразуем 0,12333... в обыкновенную дробь:

1. Обозначим 0,12333... как y.
2. Умножим на 10: 10y = 1,2333...
3. Умножим на 100: 100y = 12,3333...
4. Теперь вычтем: 100y - 10y = 12,3333... - 1,2333...
5. Это даст нам: 90y = 11,1.
6. y = 11,1 / 90 = 111/900.

Преобразуем 0,0925 в обыкновенную дробь:

0,0925 = 925/10000 = 37/400.

Теперь подставим это в выражение:

111/900 - 37/400.

Найдем общий знаменатель:

• Общий знаменатель = 3600.
• 111/900 = 444/3600.
• 37/400 = 333/3600.

Теперь подставим дроби:

444/3600 - 333/3600 = (444 - 333)/3600 = 111/3600.

Теперь переходим к третьему выражению:

0,8333... - 0,4(6) + 1,5 - 0,41(6) + 0,59.

Преобразуем 0,8333... в обыкновенную дробь:

1. Обозначим 0,8333... как z.
2. Умножим на 10: 10z = 8,3333...
3. Вычтем: 10z - z = 8,3333... - 0,8333...
4. Это даст нам: 9z = 8.
5. z = 8/9.

Преобразуем 0,4(6) в обыкновенную дробь:

1. Обозначим 0,4(6) как w.
2. Умножим на 10: 10w = 4,666...
3. Вычтем: 10w - w = 4,666... - 0,4666...
4. Это даст нам: 9w = 4,2.
5. w = 4,2 / 9 = 21/45 = 7/15.

Преобразуем 0,41(6) в обыкновенную дробь:

1. Обозначим 0,41(6) как v.
2. Умножим на 10: 10v = 4,1666...
3. Вычтем: 10v - v = 4,1666... - 0,4166...
4. Это даст нам: 9v = 3,75.
5. v = 3,75 / 9 = 15/36 = 5/12.

Теперь подставим все значения в выражение:

8/9 - 7/15 + 1,5 - 5/12 + 0,59.

Найдем общий знаменатель:

• Общий знаменатель = 180.
• 8/9 = 160/180.
• 7/15 = 84/180.
• 1,5 = 3/2 = 270/180.
• 5/12 = 75/180.
• 0,59 = 59/100 = 1062/1800 = 106/180.

Теперь подставим дроби:

160/180 - 84/180 + 270/180 - 75/180 + 106/180 = (160 - 84 + 270 - 75 + 106)/180 = 377/180.

Итак, подытожим результаты:

• Первое выражение: 101/12.
• Второе выражение: 111/3600.
• Третье выражение: 377/180.