У Пети и Кати семизначные номера телефонов, причем оба номера не начинаются с нуля. Петин номер отличается от Катиного только первой цифрой - у Кати она на 3 больше. Известно, что номер телефона Кати дает остаток 1 при делении на 8. Какой остаток дает номер телефона Пети при делении на 8?

Математика 7 класс Остатки при делении математика номера телефонов деление на 8 остаток от деления семизначные номера Петя и Катя разность цифр задачи по математике Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

У нас есть два семизначных номера телефонов: номер Пети и номер Кати. Обозначим номер Пети как P, а номер Кати как K.

По условию, номера отличаются только первой цифрой. Обозначим первую цифру номера Пети как a, тогда первая цифра номера Кати будет a + 3. Таким образом, можно записать:

• P = a * 10^6 + остальная часть номера Пети
• K = (a + 3) * 10^6 + остальная часть номера Кати

Теперь, поскольку номера являются семизначными, первая цифра (a) может принимать значения от 1 до 6 (так как номер не может начинаться с 0, а a + 3 не может превышать 9).

Теперь обратим внимание на условие, что номер Кати дает остаток 1 при делении на 8. Мы можем использовать свойство деления на 8, которое говорит, что остаток от деления числа на 8 зависит только от последних трех цифр этого числа.

Таким образом, нам нужно рассмотреть последние три цифры номера Кати:

• Обозначим последние три цифры номера Кати как x.
• Тогда K = (a + 3) * 10^6 + x.

Из условия мы знаем, что:

(a + 3) * 10^6 + x ≡ 1 (mod 8).

Теперь давайте разберемся с первым членом:

• 10^6 ≡ 0 (mod 8), так как 10^6 делится на 8.

Следовательно, мы можем упростить уравнение:

x ≡ 1 (mod 8).

Это означает, что последние три цифры номера Кати дают остаток 1 при делении на 8.

Теперь найдем, какой остаток дает номер Пети при делении на 8. Номер Пети можно записать как:

• P = a * 10^6 + y, где y - последние три цифры номера Пети.

Поскольку (a + 3) * 10^6 ≡ 0 (mod 8), то:

P ≡ a * 10^6 + y (mod 8) ≡ y (mod 8).

Теперь нам нужно узнать, как связаны последние три цифры номеров Пети и Кати. Поскольку номера отличаются только первой цифрой, последние три цифры могут быть любыми, но мы знаем, что:

y = x + d, где d - разница между последними цифрами номеров.

Так как x ≡ 1 (mod 8), то y может быть равно:

• 1, 9, 17, 25, ...

Если y будет равно 1, то:

P ≡ 1 (mod 8).

Если y будет равно 9, то:

P ≡ 1 (mod 8).

Так как y и x могут быть равны, то независимо от значений y, номер Пети также будет давать остаток 1 при делении на 8.

Таким образом, остаток, который дает номер телефона Пети при делении на 8, равен 1.