Ваня последовательно разделил задуманное им натуральное число на 4, на 6 и на 8, и в каждом случае получил некоторый остаток. Сумма этих остатков составила 15. Какой остаток будет у задуманного Ваней числа при делении на 12?

Математика 7 класс Остатки при делении остаток деление натуральное число 4 6 8 сумма остатков 15 12 задача математика 7 класс Новый

Для решения данной задачи начнем с определения необходимых терминов и анализа условий.

Пусть x – это задуманное Ваней натуральное число. При делении числа x на 4, 6 и 8, мы получаем остатки, обозначим их как r1, r2 и r3 соответственно:

• r1 = x mod 4
• r2 = x mod 6
• r3 = x mod 8

Согласно условию задачи, сумма остатков равна 15:

r1 + r2 + r3 = 15

Теперь проанализируем возможные значения остатков:

• При делении на 4 остаток может быть 0, 1, 2 или 3 (всего 4 варианта).
• При делении на 6 остаток может быть 0, 1, 2, 3, 4 или 5 (всего 6 вариантов).
• При делении на 8 остаток может быть 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 или 7 (всего 8 вариантов).

Теперь, чтобы сумма остатков r1, r2 и r3 равнялась 15, необходимо учитывать, что максимальные остатки, которые могут быть получены при делении на 4, 6 и 8, составляют 3, 5 и 7 соответственно. Сумма максимальных остатков равна:

3 + 5 + 7 = 15

Таким образом, для получения суммы остатков 15, мы должны взять максимальные возможные остатки:

• r1 = 3 (остаток при делении на 4)
• r2 = 5 (остаток при делении на 6)
• r3 = 7 (остаток при делении на 8)

Теперь мы можем записать систему уравнений:

• x ≡ 3 (mod 4)
• x ≡ 5 (mod 6)
• x ≡ 7 (mod 8)

Для нахождения числа x, которое удовлетворяет этим условиям, можно воспользоваться методом подбора. Начнем с последнего уравнения:

Числа, которые дают остаток 7 при делении на 8, имеют вид:

x = 8k + 7 (где k – целое число).

Подставим это выражение в первое уравнение:

8k + 7 ≡ 3 (mod 4)

Упростим:

0k + 3 ≡ 3 (mod 4)

Это всегда верно, следовательно, первое уравнение выполняется для любого k.

Теперь подставим в второе уравнение:

8k + 7 ≡ 5 (mod 6)

Упростим:

2k + 1 ≡ 5 (mod 6)

Это уравнение можно решить следующим образом:

2k ≡ 4 (mod 6)

Упростим:

k ≡ 2 (mod 3)

Таким образом, k может принимать значения:

k = 3m + 2 (где m – целое число).

Теперь подставим это значение обратно в выражение для x:

x = 8(3m + 2) + 7 = 24m + 23.

Теперь мы можем найти остаток при делении на 12:

x ≡ 23 (mod 12)

Вычисляем:

23 mod 12 = 11.

Таким образом, остаток задуманного Ваней числа при делении на 12 составляет:

11.