Ваня последовательно разделил задуманное им натуральное число на 4, на 6 и на 8, и в каждом случае получил некоторый остаток. Сумма этих остатков составила 15. Какой остаток будет у задуманного Ваней числа при делении на 12?
Математика 7 класс Остатки при делении остаток деление натуральное число 4 6 8 сумма остатков 15 12 задача математика 7 класс Новый
Для решения данной задачи начнем с определения необходимых терминов и анализа условий.
Пусть x – это задуманное Ваней натуральное число. При делении числа x на 4, 6 и 8, мы получаем остатки, обозначим их как r1, r2 и r3 соответственно:
Согласно условию задачи, сумма остатков равна 15:
r1 + r2 + r3 = 15
Теперь проанализируем возможные значения остатков:
Теперь, чтобы сумма остатков r1, r2 и r3 равнялась 15, необходимо учитывать, что максимальные остатки, которые могут быть получены при делении на 4, 6 и 8, составляют 3, 5 и 7 соответственно. Сумма максимальных остатков равна:
3 + 5 + 7 = 15
Таким образом, для получения суммы остатков 15, мы должны взять максимальные возможные остатки:
Теперь мы можем записать систему уравнений:
Для нахождения числа x, которое удовлетворяет этим условиям, можно воспользоваться методом подбора. Начнем с последнего уравнения:
Числа, которые дают остаток 7 при делении на 8, имеют вид:
x = 8k + 7 (где k – целое число).
Подставим это выражение в первое уравнение:
8k + 7 ≡ 3 (mod 4)
Упростим:
0k + 3 ≡ 3 (mod 4)
Это всегда верно, следовательно, первое уравнение выполняется для любого k.
Теперь подставим в второе уравнение:
8k + 7 ≡ 5 (mod 6)
Упростим:
2k + 1 ≡ 5 (mod 6)
Это уравнение можно решить следующим образом:
2k ≡ 4 (mod 6)
Упростим:
k ≡ 2 (mod 3)
Таким образом, k может принимать значения:
k = 3m + 2 (где m – целое число).
Теперь подставим это значение обратно в выражение для x:
x = 8(3m + 2) + 7 = 24m + 23.
Теперь мы можем найти остаток при делении на 12:
x ≡ 23 (mod 12)
Вычисляем:
23 mod 12 = 11.
Таким образом, остаток задуманного Ваней числа при делении на 12 составляет:
11.