В первой строчке написано число 1. Во второй строчке написано число 12. Далее в строчку с номером k записывали число, которое получается приписыванием к предыдущей строчке числа k. Например, в 12-ой строчке будет записано число 123456789101112. На доске всего 101 строчка (то есть 101 число). Сколько из этих чисел делятся на 3?

Математика 7 класс Делимость чисел математика 7 класс делимость на 3 последовательные числа задача на логику числовые последовательности Новый

Чтобы решить эту задачу, давайте разберемся, как формируется каждое число в строчках от 1 до 101 и как определить, делится ли число на 3.

Шаг 1: Понимание формирования чисел

В первой строчке у нас число 1, во второй - 12, а в третьей - 123. Далее каждое следующее число формируется путем добавления к предыдущему числу следующего целого числа. То есть:

• 1-я строчка: 1
• 2-я строчка: 12
• 3-я строчка: 123
• 4-я строчка: 1234
• ... и так далее до 101-й строчки.

Таким образом, в k-й строчке будет записано число, состоящее из всех чисел от 1 до k, записанных подряд.

Шаг 2: Условия делимости на 3

Число делится на 3, если сумма его цифр делится на 3. Поэтому нам нужно найти сумму цифр каждого числа в строчках от 1 до 101 и проверить, делится ли эта сумма на 3.

Шаг 3: Вычисление суммы цифр

Сумма цифр для k-й строчки будет равна сумме всех цифр от 1 до k. Давайте рассчитаем это для нескольких значений k:

• 1: 1 = 1 (сумма 1)
• 2: 1 + 2 = 3 (сумма 3)
• 3: 1 + 2 + 3 = 6 (сумма 6)
• 4: 1 + 2 + 3 + 4 = 10 (сумма 10)
• 5: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15 (сумма 15)
• 6: 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 (сумма 21)
• ... и так далее.

Мы можем заметить, что сумма чисел от 1 до k равна k*(k+1)/2. Теперь нам нужно проверить, делится ли эта сумма на 3.

Шаг 4: Проверка делимости

Теперь проверим, для каких значений k сумма k*(k+1)/2 делится на 3:

• Если k = 1: 1*(1+1)/2 = 1 (не делится на 3)
• Если k = 2: 2*(2+1)/2 = 3 (делится на 3)
• Если k = 3: 3*(3+1)/2 = 6 (делится на 3)
• Если k = 4: 4*(4+1)/2 = 10 (не делится на 3)
• Если k = 5: 5*(5+1)/2 = 15 (делится на 3)
• Если k = 6: 6*(6+1)/2 = 21 (делится на 3)
• ... и так далее.

Таким образом, мы можем заметить, что сумма делится на 3, когда k = 2, 3, 5, 6, 8, 9 и так далее. Мы можем использовать модуль 3 для проверки.

Шаг 5: Подсчет всех подходящих k от 1 до 101

Теперь нужно проверить все числа от 1 до 101 и подсчитать, сколько из них дают сумму, делящуюся на 3. После проверки мы находим, что это происходит для:

• k = 2, 3, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 17, 18, 20, 21, 23, 24, 26, 27, 29, 30, 32, 33, 35, 36, 38, 39, 41, 42, 44, 45, 47, 48, 50, 51, 53, 54, 56, 57, 59, 60, 62, 63, 65, 66, 68, 69, 71, 72, 74, 75, 77, 78, 80, 81, 83, 84, 86, 87, 89, 90, 92, 93, 95, 96, 98, 99, 101.

Таким образом, мы можем подсчитать, что всего 67 чисел из 101 строчки делятся на 3.

Ответ: 67