Чтобы число *65* делилось на 2, 3, 5, 6, 9, 10 и 15 одновременно, оно должно удовлетворять условиям делимости для каждого из этих чисел. Давайте разберем, что это значит:

• Делимость на 2: Число должно быть четным, то есть последняя цифра должна быть четной.
• Делимость на 3: Сумма цифр числа должна делиться на 3.
• Делимость на 5: Последняя цифра должна быть 0 или 5.
• Делимость на 6: Число должно одновременно делиться на 2 и на 3.
• Делимость на 9: Сумма цифр числа должна делиться на 9.
• Делимость на 10: Последняя цифра должна быть 0.
• Делимость на 15: Число должно одновременно делиться на 3 и на 5.

Теперь давайте найдем такое число:

1. Поскольку число должно делиться на 10, последняя цифра должна быть 0. Таким образом, число имеет вид *650.
2. Для делимости на 5, последняя цифра уже подходит, так как это 0.
3. Для делимости на 2, последняя цифра 0 также подходит, так как это четное число.
4. Для делимости на 3, сумма цифр должна делиться на 3. Проверим: 6 + 5 + 0 = 11. Чтобы это число делилось на 3, нужно изменить первую цифру. Попробуем 9: 9 + 6 + 5 + 0 = 20, не подходит. Попробуем 3: 3 + 6 + 5 + 0 = 14, не подходит. Попробуем 0: 0 + 6 + 5 + 0 = 11, не подходит. Попробуем 8: 8 + 6 + 5 + 0 = 19, не подходит. Попробуем 7: 7 + 6 + 5 + 0 = 18, подходит!
5. Для делимости на 9, сумма цифр должна делиться на 9. Мы уже нашли, что 7 + 6 + 5 + 0 = 18, и 18 делится на 9.
6. Для делимости на 6, число должно делиться на 2 и 3. Мы уже проверили, что число 7650 делится на 2 и 3.
7. Для делимости на 15, число должно делиться на 3 и 5. Мы уже проверили, что число 7650 делится на 3 и 5.

Таким образом, число 7650 удовлетворяет всем условиям делимости на 2, 3, 5, 6, 9, 10 и 15. Это и есть искомое число.