Задумали трёхзначное число, которое делится на 12 и последняя цифра которого не равна нулю. Из него вычли трёхзначное число, записанное теми же цифрами в обратном порядке, и получили число 495. Каковы все возможные числа, которые могли быть задуманы?

Математика 7 класс Делимость и свойства чисел трёхзначное число делится на 12 последняя цифра не ноль вычитание чисел записанные в обратном порядке задача на нахождение числа математика 7 класс Новый

Давайте разберем задачу шаг за шагом.

1. Обозначим задуманное трёхзначное число как ABC, где A, B и C - это цифры числа. При этом A - это сотни, B - десятки, а C - единицы. Тогда это число можно записать как 100A + 10B + C.

2. По условию, мы знаем, что это число делится на 12. Для того чтобы число делилось на 12, оно должно делиться и на 3, и на 4.

• Делимость на 3: Сумма цифр числа должна делиться на 3. То есть A + B + C должно делиться на 3.
• Делимость на 4: Последние две цифры числа (10B + C) должны делиться на 4.

3. Также известно, что последняя цифра C не равна нулю (C ≠ 0).

4. Теперь, согласно условию, мы вычли число, записанное в обратном порядке, из задуманного числа и получили 495. Запишем это уравнение:

(100A + 10B + C) - (100C + 10B + A) = 495.

Упростим это уравнение:

(100A - A) + (10B - 10B) + (C - 100C) = 495.

99A - 99C = 495.

Теперь разделим обе стороны уравнения на 99:

A - C = 5.

Таким образом, мы получили, что A = C + 5.

5. Теперь, A и C - это цифры, а значит, A может принимать значения от 1 до 9, а C от 1 до 9 (поскольку C ≠ 0). Подставим C в уравнение A = C + 5:

• Если C = 1, то A = 6.
• Если C = 2, то A = 7.
• Если C = 3, то A = 8.
• Если C = 4, то A = 9.
• Если C = 5, то A = 10 (недопустимо).

Таким образом, возможные пары (A, C) следующие:

• (6, 1)
• (7, 2)
• (8, 3)
• (9, 4)

6. Теперь найдем все возможные значения B для каждой пары (A, C), чтобы число ABC делилось на 12. Мы знаем, что A + B + C должно делиться на 3, и 10B + C должно делиться на 4.

Проверим каждую пару:

1. Для (6, 1): A = 6, C = 1. Сумма A + B + C = 7 + B. Эта сумма должна делиться на 3.
2. Для (7, 2): A = 7, C = 2. Сумма A + B + C = 9 + B.
3. Для (8, 3): A = 8, C = 3. Сумма A + B + C = 11 + B.
4. Для (9, 4): A = 9, C = 4. Сумма A + B + C = 13 + B.

Теперь проверим делимость на 4 для последних двух цифр:

• Для (6, 1): 10B + 1 должно делиться на 4. Возможные значения B: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Проверяем, что 10B + 1 делится на 4: B = 3, 7.
• Для (7, 2): 10B + 2 должно делиться на 4. Возможные значения: B = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Проверяем: B = 0, 2, 4, 6, 8.
• Для (8, 3): 10B + 3 не может делиться на 4. Значит, здесь нет подходящих B.
• Для (9, 4): 10B + 4 должно делиться на 4. Возможные значения: B = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Проверяем: B = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

7. Теперь подставим найденные значения B в пары (A, C), чтобы получить все возможные трёхзначные числа:

• Для (6, 1): 631, 671.
• Для (7, 2): 702, 712, 732, 752, 772, 792.
• Для (9, 4): 904, 914, 924, 934, 944, 954, 964, 974, 984, 994.

8. Проверим делимость на 12 для всех этих чисел:

• 631 - не делится на 12.
• 671 - не делится на 12.
• 702 - делится на 12.
• 712 - не делится на 12.
• 732 - делится на 12.
• 752 - не делится на 12.
• 772 - не делится на 12.
• 792 - делится на 12.
• 904 - не делится на 12.
• 914 - не делится на 12.
• 924 - делится на 12.
• 934 - не делится на 12.
• 944 - не делится на 12.
• 954 - не делится на 12.
• 964 - не делится на 12.
• 974 - не делится на 12.
• 984 - делится на 12.
• 994 - не делится на 12.

9. Таким образом, все возможные трёхзначные числа, которые могли быть задуманы, это:

• 702
• 732
• 792
• 924
• 984

Это и есть все подходящие числа, которые удовлетворяют условиям задачи.