Как можно определить разность и первый член арифметической прогрессии, если известны условия: а2 + а10 = 14 и а1 • а11 = 24?

Математика 8 класс Арифметическая прогрессия разность арифметической прогрессии первый член арифметической прогрессии условия арифметической прогрессии а2 и а10 а1 и а11 математика 8 класс Новый

Для решения задачи начнем с определения формул для членов арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии каждый следующий член можно выразить через первый член и разность:

• а1 = a (первый член прогрессии)
• а2 = a + d (где d - разность прогрессии)
• а10 = a + 9d
• а11 = a + 10d

Теперь подставим известные значения в уравнения:

1. Сначала рассмотрим первое условие: а2 + а10 = 14.
2. Подставим выражения для а2 и а10:
3. а + d + (a + 9d) = 14.
4. Упростим это уравнение:
5. 2a + 10d = 14.
6. Разделим все на 2:
7. a + 5d = 7. (Уравнение 1)

2. Теперь рассмотрим второе условие: а1 • а11 = 24.
3. Подставим выражения для а1 и а11:
4. a * (a + 10d) = 24.
5. Раскроем скобки:
6. a^2 + 10ad = 24. (Уравнение 2)

Теперь у нас есть система из двух уравнений:

• а + 5d = 7 (Уравнение 1)
• а^2 + 10ad = 24 (Уравнение 2)

Теперь выразим a из первого уравнения:

1. а = 7 - 5d.

Подставим это значение в уравнение 2:

1. (7 - 5d)^2 + 10(7 - 5d)d = 24.
2. Раскроем скобки:
3. (49 - 70d + 25d^2) + (70d - 50d^2) = 24.
4. Упростим:
5. -25d^2 + 49 = 24.
6. Переносим все в одну сторону:
7. -25d^2 + 25 = 0.
8. Упростим:
9. 25d^2 = 25.
10. d^2 = 1.
11. Следовательно, d = 1 или d = -1.

Теперь подставим найденные значения d обратно в уравнение для a:

• Если d = 1: a = 7 - 5*1 = 2.
• Если d = -1: a = 7 - 5*(-1) = 12.

Теперь у нас есть два возможных решения:

• Первый случай: a = 2, d = 1.
• Второй случай: a = 12, d = -1.

Таким образом, разность и первый член арифметической прогрессии можно определить как:

• Первый вариант: a1 = 2, d = 1.
• Второй вариант: a1 = 12, d = -1.

Эти два случая удовлетворяют данным условиям задачи.