Чтобы решить неравенство lg(x^2 − 3x) > 1, следуем пошагово:

1. Переписываем неравенство в экспоненциальной форме:

   Неравенство lg(x^2 − 3x) > 1 означает, что x^2 − 3x должно быть больше 10, так как lg(a) > b эквивалентно a > 10^b. Поэтому мы можем записать:

   x^2 − 3x > 10

2. Переносим все в одну сторону:

   Переносим 10 в левую часть неравенства:

   x^2 − 3x - 10 > 0

3. Решаем квадратное неравенство:

   Теперь нам нужно решить квадратное уравнение x^2 − 3x - 10 = 0 для нахождения корней:

   1. Находим дискриминант:

   D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 * 1 * (-10) = 9 + 40 = 49

   2. Находим корни уравнения по формуле:

   x1,2 = (-b ± √D) / (2a)

   x1 = (3 + 7) / 2 = 5

   x2 = (3 - 7) / 2 = -2

4. Определяем интервалы:

   Теперь у нас есть корни x1 = 5 и x2 = -2. Мы разбиваем числовую прямую на три интервала:

   • (-∞, -2)
   • (-2, 5)
   • (5, +∞)
5. Тестируем интервалы:

   Теперь проверим знак выражения x^2 - 3x - 10 в каждом интервале:

   • Для интервала (-∞, -2): выберем, например, x = -3. Подставляем:

   (-3)^2 - 3*(-3) - 10 = 9 + 9 - 10 = 8 > 0 (положительно)

   • Для интервала (-2, 5): выберем x = 0. Подставляем:

   0^2 - 3*0 - 10 = -10 < 0 (отрицательно)

   • Для интервала (5, +∞): выберем x = 6. Подставляем:

   6^2 - 3*6 - 10 = 36 - 18 - 10 = 8 > 0 (положительно)

6. Записываем решение:

   Мы видим, что выражение x^2 - 3x - 10 больше нуля на интервалах (-∞, -2) и (5, +∞).

7. Учитываем область определения:

   Также необходимо учитывать, что под логарифмом должно быть положительное число:

   x^2 - 3x > 0. Это уравнение имеет корни 0 и 3, и его знак положителен на интервалах (-∞, 0) и (3, +∞).

8. Итоговое решение:

   Теперь, комбинируя оба условия, мы получаем, что решение неравенства lg(x^2 − 3x) > 1 будет:

   (-∞, -2) ∪ (5, +∞), где также учитывается область определения (3, +∞).

   Таким образом, окончательное решение:

   (5, +∞)