Как решить неравенство log1/3(3x+5) > log1/3(x^2+1)?

Математика 8 класс Неравенства с логарифмами решение неравенства логарифмическое неравенство математика 8 класс log1/3 неравенство с логарифмами Новый

Для решения неравенства log_1/3(3x+5) > log_1/3(x²+1) начнем с использования свойств логарифмов.

Шаг 1: Изменение знака неравенства

Логарифм с основанием меньше 1 (в данном случае 1/3) меняет знак неравенства. Это означает, что:

log_1/3(3x+5) > log_1/3(x²+1) <=> 3x + 5 < x² + 1

Шаг 2: Приведение неравенства к стандартному виду

Переносим все слагаемые в одну сторону:

x² - 3x + 1 - 5 > 0

Упрощаем:

x² - 3x - 4 > 0

Шаг 3: Решение квадратного неравенства

Теперь решим квадратное уравнение x² - 3x - 4 = 0 с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b² - 4ac = (-3)² - 4 * 1 * (-4) = 9 + 16 = 25
• Корни уравнения: x_1,2 = (3 ± √D) / 2a = (3 ± 5) / 2
• Получаем x₁ = 4 и x₂ = -1

Шаг 4: Определение промежутков

Теперь мы знаем, что корни уравнения -1 и 4. Разделим числовую ось на три промежутка:

• (-∞, -1)
• (-1, 4)
• (4, +∞)

Теперь проверим знак выражения x² - 3x - 4 на каждом из промежутков:

• Для x < -1 (например, x = -2): (-2)² - 3*(-2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0
• Для -1 < x < 4 (например, x = 0): (0)² - 3*0 - 4 = -4 < 0
• Для x > 4 (например, x = 5): (5)² - 3*5 - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0

Шаг 5: Запись решения

Таким образом, неравенство x² - 3x - 4 > 0 выполняется на промежутках:

x < -1 и x > 4.

Шаг 6: Проверка условий логарифмов

Не забываем, что логарифмы определены только для положительных аргументов:

• 3x + 5 > 0 <=> x > -5/3
• x² + 1 > 0 всегда верно для всех x.

Таким образом, учитывая условие x > -5/3, окончательное решение:

x < -1 или x > 4.

Ответ: x < -1 или x > 4.