Помогите, пожалуйста, решить неравенство log0,5(7-x) < 3 с подробным объяснением области допустимых значений (ОДЗ).

Математика 8 класс Неравенства с логарифмами неравенство логарифм область допустимых значений математика 8 класс решение неравенства Новый

Давайте решим неравенство log_0.5(7-x) < 3. Начнем с определения области допустимых значений (ОДЗ).

Шаг 1: Определение ОДЗ

• Логарифм определен только для положительных значений. Поэтому, чтобы log_0.5(7-x) был определен, необходимо, чтобы (7-x) > 0.
• Решим неравенство: 7 - x > 0, что эквивалентно x < 7.
• Таким образом, одна часть ОДЗ: x < 7.

Теперь также нужно учесть, что основание логарифма (0.5) меньше 1. Это означает, что логарифмическая функция убывает. Поэтому, когда мы решаем неравенство log_0.5(7-x) < 3, мы можем переписать его в эквивалентной форме:

Шаг 2: Переписывание неравенства

• Так как логарифм убывает, неравенство log_0.5(7-x) < 3 эквивалентно выражению 7-x > 0.5³.
• Вычислим 0.5³ = 0.125.
• Теперь у нас есть неравенство: 7 - x > 0.125.

Шаг 3: Решение неравенства

• Перепишем неравенство: 7 - 0.125 > x.
• Вычислим 7 - 0.125 = 6.875.
• Таким образом, мы получаем x < 6.875.

Шаг 4: Объединение результатов

• Теперь у нас есть два условия: x < 7 и x < 6.875.
• Наименьшее из них - это x < 6.875.

Ответ: Решением неравенства log_0.5(7-x) < 3 является x < 6.875. Область допустимых значений: x < 7.