Как можно решить следующие уравнения, в которых x является переменной?

1. (1/11)^x + 2 = 11^x
2. (1/12)^x - 18 = 144^x
3. (1/12)^x + 2 = 12^x
4. (1/13)^x - 18 = 169^x
5. (1/13)^x - 1 = 13^x
6. (1/13)^x + 15 = 169^x
7. (1/14)^x + 5 = 14^x
8. (1/18)^x + 1 = 18^x

Я предлагаю 50 баллов за правильное решение!

Математика 8 класс Уравнения с показательной функцией уравнения с переменной x решение уравнений математика 8 класс алгебра экспоненциальные уравнения задачи на уравнения математические задачи уравнения с дробями Новый

Решим предложенные уравнения шаг за шагом. Для начала, давайте вспомним, что мы можем преобразовывать уравнения с помощью свойств степеней и логарифмов. Это поможет нам упростить уравнения и найти значение переменной x.

1. Уравнение: (1/11)^x + 2 = 11^x

1. Перепишем (1/11)^x как 11^(-x).
2. Получаем уравнение: 11^(-x) + 2 = 11^x.
3. Переносим 2 на правую сторону: 11^(-x) = 11^x - 2.
4. Умножим обе стороны на 11^x: 1 = 11^(2x) - 2*11^x.
5. Это квадратное уравнение: 11^(2x) - 2*11^x - 1 = 0.
6. Обозначим y = 11^x, тогда уравнение примет вид: y^2 - 2y - 1 = 0.
7. Решим его по формуле: y = (2 ± √(4 + 4)) / 2 = 1 ± √2.
8. Теперь вернемся к x: 11^x = 1 + √2 или 11^x = 1 - √2 (это значение отрицательное, не подходит).
9. Таким образом, x = log_11(1 + √2).

2. Уравнение: (1/12)^x - 18 = 144^x

1. Перепишем (1/12)^x как 12^(-x) и 144 как 12^2.
2. Получаем: 12^(-x) - 18 = (12^2)^x = 12^(2x).
3. Переносим 18: 12^(-x) = 12^(2x) + 18.
4. Умножаем обе стороны на 12^x: 1 = 12^(3x) + 18*12^x.
5. Это квадратное уравнение: 12^(3x) + 18*12^x - 1 = 0.
6. Обозначим y = 12^x, тогда уравнение: y^3 + 18y - 1 = 0.
7. Решаем его численно или графически.

3. Уравнение: (1/12)^x + 2 = 12^x

1. Перепишем (1/12)^x как 12^(-x): 12^(-x) + 2 = 12^x.
2. Переносим 2: 12^(-x) = 12^x - 2.
3. Умножаем на 12^x: 1 = 12^(2x) - 2*12^x.
4. Квадратное уравнение: 12^(2x) - 2*12^x - 1 = 0.
5. Обозначим y = 12^x: y^2 - 2y - 1 = 0.
6. Решаем: y = 1 ± √2, x = log_12(1 + √2).

4. Уравнение: (1/13)^x - 18 = 169^x

1. Перепишем (1/13)^x как 13^(-x) и 169 как 13^2.
2. Получаем: 13^(-x) - 18 = (13^2)^x = 13^(2x).
3. Переносим 18: 13^(-x) = 13^(2x) + 18.
4. Умножаем на 13^x: 1 = 13^(3x) + 18*13^x.
5. Квадратное уравнение: 13^(3x) + 18*13^x - 1 = 0.
6. Обозначим y = 13^x: y^3 + 18y - 1 = 0.

5. Уравнение: (1/13)^x - 1 = 13^x

1. Перепишем (1/13)^x как 13^(-x): 13^(-x) - 1 = 13^x.
2. Переносим 1: 13^(-x) = 13^x + 1.
3. Умножаем на 13^x: 1 = 13^(2x) + 13^x.
4. Квадратное уравнение: 13^(2x) + 13^x - 1 = 0.
5. Обозначим y = 13^x: y^2 + y - 1 = 0.
6. Решаем: y = (-1 ± √5) / 2, x = log_13((-1 + √5) / 2).

6. Уравнение: (1/13)^x + 15 = 169^x

1. Перепишем (1/13)^x как 13^(-x): 13^(-x) + 15 = 13^(2x).
2. Переносим 15: 13^(-x) = 13^(2x) - 15.
3. Умножаем на 13^x: 1 = 13^(3x) - 15*13^x.
4. Квадратное уравнение: 13^(3x) - 15*13^x - 1 = 0.
5. Обозначим y = 13^x: y^3 - 15y - 1 = 0.

7. Уравнение: (1/14)^x + 5 = 14^x

1. Перепишем (1/14)^x как 14^(-x): 14^(-x) + 5 = 14^x.
2. Переносим 5: 14^(-x) = 14^x - 5.
3. Умножаем на 14^x: 1 = 14^(2x) - 5*14^x.
4. Квадратное уравнение: 14^(2x) - 5*14^x - 1 = 0.
5. Обозначим y = 14^x: y^2 - 5y - 1 = 0.

8. Уравнение: (1/18)^x + 1 = 18^x

1. Перепишем (1/18)^x как 18^(-x): 18^(-x) + 1 = 18^x.
2. Переносим 1: 18^(-x) = 18^x - 1.
3. Умножаем на 18^x: 1 = 18^(2x) - 18^x.
4. Квадратное уравнение: 18^(2x) - 18^x - 1 = 0.
5. Обозначим y = 18^x: y^2 - y - 1 = 0.

Таким образом, мы можем решить каждое из уравнений, используя свойства степеней и логарифмов. В некоторых случаях может потребоваться численное или графическое решение, особенно для более сложных уравнений.