Как можно решить уравнение 4^x - 0.25^x - 2 = 15? Пожалуйста, помогите и распишите решение подробно.

Математика 8 класс Уравнения с переменной в показателе решение уравнения уравнение 4^x математика 8 класс помощь по математике подробное решение уравнения Новый

Давайте решим уравнение 4^x - 0.25^x - 2 = 15 шаг за шагом.

Первым делом, заметим, что 0.25 можно представить как 1/4, а 1/4 = 4^(-1). Таким образом, мы можем переписать 0.25^x как (4^(-1))^x = 4^(-x).

Теперь перепишем уравнение с учетом этого:

4^x - 4^(-x) - 2 = 15

Теперь перенесем 15 на левую сторону уравнения:

4^x - 4^(-x) - 17 = 0

Теперь давайте обозначим 4^x как y. Тогда 4^(-x) можно записать как 1/y. Подставим это в уравнение:

y - 1/y - 17 = 0

Умножим обе стороны уравнения на y, чтобы избавиться от дроби:

y^2 - 1 - 17y = 0

Теперь упорядочим уравнение:

y^2 - 17y - 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

• Дискриминант D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = -17, c = -1.
• Подставим значения: D = (-17)^2 - 4 * 1 * (-1) = 289 + 4 = 293.

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы:

y = ( -b ± √D ) / 2a

Подставляем значения:

y = (17 ± √293) / 2

Теперь у нас есть два значения для y:

y1 = (17 + √293) / 2

y2 = (17 - √293) / 2

Теперь нам нужно вернуться к переменной x. Помним, что y = 4^x. Таким образом, мы получаем:

4^x = (17 + √293) / 2

и

4^x = (17 - √293) / 2

Теперь найдем x:

x1 = log4((17 + √293) / 2)

x2 = log4((17 - √293) / 2)

Однако, нужно проверить, является ли (17 - √293) / 2 положительным, так как 4^x всегда положительно. Если (17 - √293) / 2 < 0, то это значение не подходит.

Теперь мы можем найти приближенные значения x1 и x2, используя логарифмы. Для этого можно воспользоваться логарифмическими свойствами:

x = log4(a) = log(a) / log(4)

Таким образом, подставляем значения:

x1 ≈ log((17 + √293) / 2) / log(4)

x2 ≈ log((17 - √293) / 2) / log(4)

В итоге у нас есть два возможных значения x, и мы можем оставить только то, которое является положительным.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решить данное уравнение!