Как решить уравнение 4^x - 0.25^x - 2 = 15? Помогите, пожалуйста, распишите подробно для понимания.

Математика 8 класс Уравнения с переменной в показателе уравнение 4^x 0.25^x 2 15 решение подробное математика 8 класс алгебра exponentiation логарифмы примеры объяснение шаги решения понимание помощь Новый

Давайте решим уравнение 4^x - 0.25^x - 2 = 15 шаг за шагом.

Во-первых, заметим, что 0.25 можно представить как 1/4, что в свою очередь равно 4^(-1). Таким образом, мы можем переписать уравнение:

0.25^x = (4^(-1))^x = 4^(-x)

Теперь подставим это в исходное уравнение:

4^x - 4^(-x) - 2 = 15

Теперь упростим наше уравнение. Переместим число 15 на другую сторону:

4^x - 4^(-x) = 15 + 2

4^x - 4^(-x) = 17

Чтобы упростить работу с уравнением, давайте введем новую переменную. Обозначим t = 4^x. Это значит, что 4^(-x) = 1/t.

Теперь подставим t в наше уравнение:

t - 1/t = 17

Умножим обе стороны уравнения на t, чтобы избавиться от дроби:

t^2 - 1 = 17t

Перепишем уравнение в стандартном виде:

t^2 - 17t - 1 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью дискриминанта. Дискриминант D рассчитывается по формуле:

D = b^2 - 4ac

Где a = 1, b = -17, c = -1.

Подставляем значения:

D = (-17)^2 - 4*1*(-1) = 289 + 4 = 293

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы корней:

t = (17 ± √D) / 2a

t = (17 ± √293) / 2

Так как t = 4^x, а это выражение должно быть положительным, мы возьмем только положительный корень:

t = (17 + √293) / 2

Теперь мы можем найти x:

4^x = (17 + √293) / 2

Применим логарифм, чтобы выразить x:

x = log4((17 + √293) / 2)

Таким образом, мы нашли значение x. Если нужно подставить численные значения, вы можете использовать калькулятор для вычисления логарифма.

Надеюсь, это объяснение помогло вам понять, как решать подобные уравнения!