Помогите пожалуйста! Как решить уравнение: 3^x + 9^(x-1) - 810 = 0?

Математика 8 класс Уравнения с переменной в показателе уравнение решить уравнение 3^x 9^(x-1) математика 8 класс алгебра математические задачи уравнения с переменной Новый

Давайте решим уравнение 3^x + 9^(x-1) - 810 = 0 шаг за шагом.

Первое, что мы заметим, это то, что 9 можно выразить через 3. Мы знаем, что 9 = 3^2. Таким образом, 9^(x-1) можно переписать как (3^2)^(x-1), что равно 3^(2(x-1)) или 3^(2x - 2).

Теперь перепишем наше уравнение с учетом этого:

3^x + 3^(2x - 2) - 810 = 0.

Теперь упростим вторую часть уравнения:

• 3^(2x - 2) = 3^(2x) / 3^2 = 3^(2x) / 9.

Теперь подставим это обратно в уравнение:

3^x + (3^(2x) / 9) - 810 = 0.

Чтобы избавиться от дроби, умножим все уравнение на 9:

9 * 3^x + 3^(2x) - 7290 = 0.

Теперь обозначим 3^x как y. Таким образом, 3^(2x) будет y^2:

9y + y^2 - 7290 = 0.

Теперь у нас есть квадратное уравнение:

y^2 + 9y - 7290 = 0.

Для решения квадратного уравнения мы можем использовать формулу дискриминанта:

• D = b^2 - 4ac, где a = 1, b = 9, c = -7290.

Подставим значения:

D = 9^2 - 4 * 1 * (-7290) = 81 + 29160 = 29141.

Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

y = (-b ± √D) / (2a).

Подставим значения:

y = (-9 ± √29141) / 2.

Теперь вычислим √29141. Это примерно 171.03. Подставим это значение:

y1 = (-9 + 171.03) / 2 ≈ 81.015,

y2 = (-9 - 171.03) / 2 (это отрицательное значение, оно не подходит, так как y = 3^x должно быть положительным).

Теперь у нас есть только одно подходящее значение для y:

y = 81.015.

Теперь вернемся к нашему обозначению:

3^x = 81.015.

Чтобы найти x, можем взять логарифм по основанию 3:

x = log3(81.015).

Однако, 81 = 3^4, так что:

x ≈ 4 (поскольку 81.015 близко к 81).

Таким образом, мы можем сказать, что x ≈ 4. Это и будет приближенное решение нашего уравнения.

Проверяем: подставляем x = 4 в исходное уравнение:

3^4 + 9^(4-1) - 810 = 81 + 729 - 810 = 0.

Уравнение верно, значит, x = 4 является решением.

Ответ: x ≈ 4.