Для решения уравнения (x-4)^4 + (x-8)^4 = 32, давайте начнем с упрощения выражений. Мы можем ввести замену переменной, чтобы сделать уравнение более понятным.

1. Введем замену:

• Пусть y = x - 6. Тогда:
• x - 4 = y + 2
• x - 8 = y - 2

2. Теперь подставим эти выражения в уравнение:

• (y + 2)^4 + (y - 2)^4 = 32

3. Раскроем скобки:

• (y + 2)^4 = y^4 + 8y^3 + 24y^2 + 32y + 16
• (y - 2)^4 = y^4 - 8y^3 + 24y^2 - 32y + 16

4. Теперь сложим эти два выражения:

• (y + 2)^4 + (y - 2)^4 = (y^4 + 8y^3 + 24y^2 + 32y + 16) + (y^4 - 8y^3 + 24y^2 - 32y + 16)
• Это упростится до:
• 2y^4 + 48y^2 + 32

5. Теперь у нас есть уравнение:

• 2y^4 + 48y^2 + 32 = 32

6. Упростим его:

• 2y^4 + 48y^2 = 0

7. Вынесем общий множитель:

• 2y^2(y^2 + 24) = 0

8. Теперь решим это уравнение:

• 2y^2 = 0, отсюда y^2 = 0, значит y = 0.
• y^2 + 24 = 0, но это уравнение не имеет действительных корней.

9. Таким образом, мы нашли только одно решение для y:

• y = 0

10. Теперь вернемся к переменной x. Помним, что y = x - 6:

• 0 = x - 6
• Следовательно, x = 6.

11. Таким образом, окончательный ответ:

• x = 6

Это и есть решение уравнения (x-4)^4 + (x-8)^4 = 32.