Как можно решить уравнение z в кубе плюс 1 равно 0?

Математика 8 класс Уравнения третьей степени уравнение решение математика куб z алгебра комплексные числа корни уравнения Новый

Для решения уравнения z в кубе плюс 1 равно 0, начнем с того, что запишем его в более удобной форме:

1. Запишите уравнение:

z³ + 1 = 0

2. Переносим 1 на другую сторону уравнения:

z³ = -1

3. Теперь мы можем найти значение z, извлекая кубический корень:

z = ∛(-1)

4. Находим корень:

Кубический корень из -1 равен -1. Таким образом, одно из решений:

z = -1

5. Однако у уравнения z³ + 1 = 0 есть и другие решения, так как это кубическое уравнение. Мы можем использовать формулу для нахождения корней кубического уравнения:

• z = -1 (мы уже нашли одно решение);
• Теперь найдем остальные корни с помощью комплексных чисел.

6. Для этого воспользуемся формой комплексных чисел. Мы можем представить -1 в полярной форме:

-1 = 1 * (cos(π) + i*sin(π))

7. Теперь применим формулу для нахождения кубических корней:

z_k = r^(1/3) * (cos((θ + 2kπ)/3) + i*sin((θ + 2kπ)/3)), где k = 0, 1, 2.

В нашем случае r = 1, θ = π.

8. Подставляем значения:

1. Для k = 0:

z_0 = 1 * (cos(π/3) + i*sin(π/3)) = cos(π/3) + i*sin(π/3) = 1/2 + i*(√3/2).

2. Для k = 1:

z_1 = 1 * (cos((π + 2π)/3) + i*sin((π + 2π)/3)) = cos(π) + i*sin(π) = -1.

3. Для k = 2:

z_2 = 1 * (cos((π + 4π)/3) + i*sin((π + 4π)/3)) = cos(5π/3) + i*sin(5π/3) = 1/2 - i*(√3/2).

9. Таким образом, у нас есть три корня:

• z_0 = 1/2 + i*(√3/2),
• z_1 = -1,
• z_2 = 1/2 - i*(√3/2).

Итак, окончательные решения уравнения z³ + 1 = 0:

• z = -1,
• z = 1/2 + i*(√3/2),
• z = 1/2 - i*(√3/2).