Как найти четыре числа, которые образуют геометрическую прогрессию, если третий член больше первого на 9, а второй больше четвертого на 18?

Математика 8 класс Геометрическая прогрессия Геометрическая прогрессия четыре числа математическая задача третий член первый член второй член четвертый член решение задачи Новый

Давайте обозначим четыре числа, которые образуют геометрическую прогрессию, как a, b, c и d. В геометрической прогрессии выполняется следующее условие:

• b = a * r
• c = a * r^2
• d = a * r^3

где r - это знаменатель прогрессии. Теперь у нас есть две условия:

1. Третий член больше первого на 9: c = a + 9
2. Второй больше четвертого на 18: b = d + 18

Теперь подставим выражения для b, c и d в эти уравнения:

1. Подставим c в первое уравнение:
• a * r^2 = a + 9
2. Подставим b и d во второе уравнение:
• a * r = a * r^3 + 18

Теперь у нас есть система уравнений:

1. a * r^2 - a = 9
2. a * r - a * r^3 = 18

Решим первое уравнение:

a * (r^2 - 1) = 9

Отсюда:

a = 9 / (r^2 - 1)

Теперь подставим a во второе уравнение:

(9 / (r^2 - 1)) * r - (9 / (r^2 - 1)) * r^3 = 18

Упростим это уравнение:

9 * (r - r^3) / (r^2 - 1) = 18

Теперь умножим обе стороны на (r^2 - 1):

9 * (r - r^3) = 18 * (r^2 - 1)

Упростим уравнение:

9r - 9r^3 = 18r^2 - 18

Переносим все в одну сторону:

9r^3 - 18r^2 + 9r + 18 = 0

Разделим уравнение на 9:

r^3 - 2r^2 + r + 2 = 0

Теперь можно попробовать найти корни этого уравнения. Подставим r = 2:

2^3 - 2 * 2^2 + 2 + 2 = 8 - 8 + 2 + 2 = 4

r = 2 не является корнем. Попробуем r = -1:

(-1)^3 - 2 * (-1)^2 + (-1) + 2 = -1 - 2 - 1 + 2 = -2

r = -1 тоже не подходит. Попробуем r = 1:

1^3 - 2 * 1^2 + 1 + 2 = 1 - 2 + 1 + 2 = 2

Попробуем r = -2:

(-2)^3 - 2 * (-2)^2 + (-2) + 2 = -8 - 8 - 2 + 2 = -16

Теперь попробуем r = 3:

3^3 - 2 * 3^2 + 3 + 2 = 27 - 18 + 3 + 2 = 14

Теперь мы можем использовать метод подбора или графический метод для нахождения корней. После нахождения корня, мы можем подставить его обратно, чтобы найти a.

После нахождения значений a и r, мы можем найти все четыре числа:

• Первое число: a
• Второе число: a * r
• Третье число: a * r^2
• Четвертое число: a * r^3

Таким образом, мы можем найти четыре числа, которые образуют геометрическую прогрессию.