Как найти f(45) - f(54), если для любых действительных x и y выполняется равенство f(x - y) = f(x) f(y) - 2xy?

Математика 8 класс Функции и их свойства функция математика 8 класс f(45) f(54) равенство действительные числа найти разность Новый

Для решения задачи начнем с изучения данного равенства:

f(x - y) = f(x) f(y) - 2xy

Это уравнение связывает значения функции f в зависимости от двух переменных x и y. Нам нужно найти разность f(45) - f(54). Для этого мы можем воспользоваться свойством, которое описывает функцию f.

Сначала подставим y = 0 в уравнение:

f(x - 0) = f(x) f(0) - 2x*0

Это упростится до:

f(x) = f(x) f(0)

Из этого уравнения видно, что если f(0) не равно 1, то f(x) должно быть равно 0 для всех x, что не очень полезно. Поэтому предположим, что f(0) = 1.

Теперь подставим y = 1:

f(x - 1) = f(x) f(1) - 2x

Это уравнение также полезно, но нам нужно больше информации о функции f. Для этого попробуем подставить конкретные значения.

Подставим x = 1 и y = 1:

f(1 - 1) = f(1) f(1) - 2*1*1

Это упростится до:

f(0) = f(1)^2 - 2

Так как f(0) = 1, то подставляем это значение:

1 = f(1)^2 - 2

Следовательно:

f(1)^2 = 3

Таким образом, f(1) = √3 или f(1) = -√3.

Теперь попробуем подставить y = x в исходное уравнение:

f(x - x) = f(x) f(x) - 2x^2

Это упростится до:

f(0) = f(x)^2 - 2x^2

Зная, что f(0) = 1, получаем:

1 = f(x)^2 - 2x^2

Следовательно:

f(x)^2 = 2x^2 + 1

Теперь мы можем выразить f(x):

f(x) = ±√(2x^2 + 1)

Теперь, чтобы найти f(45) и f(54), подставим x = 45 и x = 54:

f(45) = √(2*45^2 + 1) = √(4050 + 1) = √4051

f(54) = √(2*54^2 + 1) = √(5832 + 1) = √5833

Теперь мы можем найти f(45) - f(54):

f(45) - f(54) = √4051 - √5833

Таким образом, окончательный ответ:

f(45) - f(54) = √4051 - √5833