Как найти решение уравнения 3√(x² - 3) + 5√(x² - 3) = 4?

Математика 8 класс Уравнения с корнями решение уравнения уравнение с корнями математические задачи алгебра 8 класс нахождение корней уравнения Новый

Чтобы решить уравнение 3√(x² - 3) + 5√(x² - 3) = 4, давайте сначала упростим его.

1. Объединим подобные члены:

• 3√(x² - 3) + 5√(x² - 3) = (3 + 5)√(x² - 3) = 8√(x² - 3).

Теперь у нас есть упрощенное уравнение:

8√(x² - 3) = 4

2. Разделим обе стороны уравнения на 8:

• √(x² - 3) = 4 / 8 = 1/2.

3. Теперь избавимся от корня, возведя обе стороны уравнения в квадрат:

• (√(x² - 3))² = (1/2)²
• x² - 3 = 1/4.

4. Далее, добавим 3 к обеим сторонам уравнения:

• x² = 1/4 + 3.

5. Приведем 3 к общему знаменателю:

• 3 = 12/4, следовательно, x² = 1/4 + 12/4 = 13/4.

6. Теперь найдем x, извлекая корень из обеих сторон:

• x = ±√(13/4).
• x = ±(√13 / 2).

7. Таким образом, у нас есть два возможных решения:

• x = √13 / 2
• x = -√13 / 2.

8. Важно проверить, подходят ли найденные решения к исходному уравнению, так как при извлечении корня могли возникнуть extraneous solutions (ложные решения).

Подставим x = √13 / 2 в исходное уравнение:

• √(x² - 3) = √(13/4 - 3) = √(13/4 - 12/4) = √(1/4) = 1/2.
• Подставляем в уравнение: 8 * (1/2) = 4, что верно.

Теперь подставим x = -√13 / 2:

• √(x² - 3) = √(13/4 - 3) = √(1/4) = 1/2.
• Подставляем в уравнение: 8 * (1/2) = 4, что также верно.

Таким образом, оба решения подходят. Ответ:

x = √13 / 2 и x = -√13 / 2.