Как найти решение уравнения 64^x + 6 * 8^x - 7 = 0?

Математика 8 класс Уравнения с переменной в показателе уравнение 64^x решение уравнения 8^x математика 8 класс exponentiation equation алгебраические уравнения Новый

Чтобы решить уравнение 64^x + 6 * 8^x - 7 = 0, давайте сначала упростим его. Мы заметим, что 64 и 8 можно выразить через одну и ту же основу, а именно 2.

• 64 можно записать как 2^6, то есть 64^x = (2^6)^x = 2^(6x).
• 8 можно записать как 2^3, то есть 8^x = (2^3)^x = 2^(3x).

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

2^(6x) + 6 * 2^(3x) - 7 = 0

Теперь давайте сделаем замену. Обозначим y = 2^(3x). Тогда:

• 2^(6x) = (2^(3x))^2 = y^2,
• 6 * 2^(3x) = 6y.

Таким образом, наше уравнение превращается в:

y^2 + 6y - 7 = 0

Теперь мы можем решить это квадратное уравнение с помощью формулы корней:

y = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / 2a, где a = 1, b = 6, c = -7.

• Сначала найдем дискриминант: D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 * 1 * (-7) = 36 + 28 = 64.
• Теперь подставим значения в формулу: y = (-6 ± √64) / 2.
• Находим корни: y = (-6 + 8) / 2 = 1 и y = (-6 - 8) / 2 = -7.

Поскольку y = 2^(3x), а 2^(3x) всегда больше нуля, мы отбрасываем отрицательный корень y = -7. Оставляем только y = 1.

Теперь вернемся к переменной x:

2^(3x) = 1.

Поскольку 2^0 = 1, мы можем записать:

3x = 0.

Теперь решим это уравнение:

x = 0.

Таким образом, решением уравнения 64^x + 6 * 8^x - 7 = 0 является x = 0.